专题22 斜率型取值范围模型(解析版).docx

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1、专题22斜率型取值范围模型1 .圆锥曲线中范围问题求解的基本思路解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系.2 .圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法3 1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；4 2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；5 3)利用已知的不等关系构造不

2、等式，从而求出参数的取值范围；6 4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.7 .圆锥曲线中范围问题的基本类型圆锥曲线中的范围问题主要有以下四种情况：(1)斜率型；(2)参数及点的坐标(横或纵)型；(3)长度和距离型；(4)面积与数量积型.【例题选讲】91例1设椭圆了+5=1(3)的右焦点为F,右顶点为A.已知IoA1-QE=I,其中。为原点，e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程及离心率e的值；(2)设过点A的直线/与椭圆交于点B(B不在X轴上)，垂直于/的直线与I交于点与y轴交于点”.若且NMOAW/MA0,求直线/的斜率的取值范围.I破题思路1由题目条件垂直于直线/的直线与

3、I交于点与y轴交于点,利用Hmh=-1,建立关于攵的两条直线方程，由题目条件NMoANMO,利用三角形的大角对大边，建立关于XW的不等式，利用题目条件B尸_1_尸，即讲赤=O建立关系式.I规范解答(1)由题意可知IoFI=c=2-3,又IOA1|。FI=1,所以。一亚二5=1,解得=2,所以椭圆的方程为+=1,离心率e=5=/.(2)设M(.w,加)，易知A(2,0),在AMAO中，ZMOAZMAOMA3)的左顶点，斜率为k(Q0)的直线交E于A,M两点，点N在E上,MA1NA.(1)当f=4,HM=IAN1时，求AAMN的面积：(2)当2AM=AN时，求攵的取值范围.破题思路I求0,A(-r

4、,0),将直线AM的方程y=k(x+h代入，+=1得(3+汲2*+24?次2x+z2-3/=0,设M(x,y),则x(S)=3+/，即M=工点)，故IAM1=|为+3N1+F=6Q+2)3+点由题设知，直线AN的方程为尸一3+访故同理可得WV1=竺怨#22k由2HM=HM,得3+派2=3炉+J即(K2)f=3A(221).xk.3匹Ca1-k/,HIJ34(2左1),3(2-1)当上=也时上式不成文，因此r=K_2由3,得K一23K-2标+*2(%2)(.+1)所以K2-K20即号0,炉一20仅一20,得版Vk2.因此攵的取值范围是(强，2).题后悟通I解决本题第(2)问时，通过已知条件2|A

5、M=HN1得到参数攵与参数/之间的关系，往往会忽视题目中的已知条件3,不能建立关于攵的不等式，从而导致问题无法求解.利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围转化为已知参数的范围问题.例3已知椭圆，+g=1(Qo)的左、右焦点分别为尸I,F2,且百尸2=6,直线y=H与椭圆交于A,B两点.(1)若尸2的周长为16,求椭圆的标准方程；(2)若Z=坐，且A,B,F,B四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设Pa，/)为椭圆上一点，且直线附的斜率M(2,-1),试求直线PB的斜率近的取值范围.规范解答(1)由题意得c=3,根据2

6、+2c=16,得=5.结合。2=从+/,解得/=25,护=16。所以椭圆的方程为(+代=1.(2)法一：由V2k4-ab2设Aa1,y),8(x2,”),所以xi+m=O,RX2=；，由A8,尸B互相平分且共圆,2+O易知，A尸218B,因为城=(X13,y),=(必一3,yi),所以成易=(X13)(X23)+6”=(1+()/2+9=0.-a2b2即由玄=8,所以有j-=8,结合/+9=/，解得/=2(=6舍去)，从+松O所以离心率e=坐.(若设A(XI,y),B(-f)“)相应给分)法二：设AaI，9)，又AB,尸|巳互相平分且共圆，所以AB,凡乃是圆的直径，所以R+W=9,又由椭圆及直

7、线方程综合可得:ryi=9,y=g,4+4=1.1aIr由前两个方程解得好=8,M=I,将其代入第三个方程并结合从=/一廿=。2一9,解得=2,故e=坐.9,2由(2)的结论知，椭圆方程为方+1=1,由题可设A(XI,y),(-x,y),yo-yyo+y诉唧人-f守)A货,1XO-X1*2X+x12-?,-?高一好4*即反=一去由一2V1可知,卜女2O)的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，且无I炭的最大值为1.(1)求椭圆石的方程；(2)设直线1：x=k)与椭圆E交于不同的两点4,8,且NAOB为锐角(0为坐标原点),求2的取值范围.I规范解答(D易知=2,c=4-Zz2,从%所以外(一潮

8、4一斤,0),F2(4P,0),设P(,y),则用巨?2=(一:4乎一X,-y)(V4-2r,一)=2y2-4Z2=x2Z2-42=1-x222-4.因为x-2,2,故当工=2,即点尸为椭圆长轴端点时，讨无2有最大值1,即I=(I-)x4+2护一4,解得=1故所求椭圆E的方程为Y+y2=1.X=ky-1设4(x,H),”)，1,2得彳+9=2k(A24)y2-2-3=0,J=(-2jI)2+12(4+2)=16+480,故y1+y2=xyy2=-3P+4,又NAoB为锐角，故。VO8=x1x2+y1.v2O,又打T2=(11)出2D=FyIy2一出1+y2)+1,32斤所以RX2+v2=(14

9、二加”一HyI+”)+1=(12)p-Jp10,所以33斤22+4+R142=4+F故2的取值范围是(一/例5已知C为圆+1)2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点。在圆的半径CP上,且有点A(1,0)和AP上的点M,满足优.#=(),AP=IAM.(1)当点P在圆上运动时，求点。的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线/与圆X2+)2=I相切,与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F,H,O是坐标原点，且帚况谆求女的取值范围.规范解答(1)由题意知MQ是线段A尸的垂直平分线，所以ICPI=QC+0P1=IQq+Q4=25CA=2,所以点。的轨迹是以点C,4为焦点，焦距为2,长轴长为2啦的椭圆,所以

10、=5,c=1,b=y(-(=1,故点Q的轨迹方程是，+y2=1.(2)设直线/：y=kx+t,F(x,y),H(X2,”)，直线/与圆f+y2=1相切=I=In户联立，=d+2M*+4S+2-一2=。,y=kx+t则=162/24(12k2)(2i22)=8(22r21)=8Ar0=0,xx2=-j-2,XIX2=2尸一21+2P所以办5=X1X2+)V2=(1+A)%iX2kt(xX2)Z2+匕1+户(1+4)2如_4标(标+1)1+M1+2Zr1+22+K十1+2日所以提t写*小所以一乎必邛或圣心坐故女的取值范围是乎，-u期例6已知M为椭圆C：=1上的动点，过点M作X轴的垂线，垂足为。，点

11、P满足屈=弼).(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A,8两点分别为椭圆C的左、右顶点，尸为椭圆。的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q,直线QF,%的斜率分别为f,kg,求警的取值范围.规范解答设尸（x,y）,Mon,）,依题意知D（n,0）,且）0.由丽=争证），得（加一心5-3又M（Jn,）为椭圆C：会十1=1上的点，法9=1即f+y2=25,故动点P的轨迹E的方程为x2+r=25(0).(2)依题意知4一5,0),8(5,0),F(-4,0),设Q(Xo,/),线段AB为圆E的直径，AP_1BP,设直线PB的斜率为公小3kPB=iQFkQB=-o+40-5=(x04)(o-5)kpB(Xo+4)(X05)(-25)(XO+4)(X()5)925U05)XO+4却+土），点P不同于A,8两点且直线。尸的斜率存在，一5vo5且工#一4,又尸土在（一5,4）和（一4,5）上都是减函数，,却+3上）度，+8）,：的取值范围是（一8,O）U（|,+J.【对点训练】1 .已知椭圆C的两个焦