专题3.4 双曲线的标准方程和性质【九大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题3.4双曲线的标准方程和性质【九大题型】【人教A版（2019）【题型1曲线方程与双曲线】1【题型2利用双曲线的定义解题】3【题型3双曲线的标准方程的求解】5【题型4求双曲线的轨迹方程】7【题型5利用双曲线的几何性质求标准方程】10【题型6双曲线的渐近线方程】12【题型7求双曲线的离心率的值或取值范围】14【题型8双曲线中的最值问题】16【题型9双曲线的实际应用问题】18【知识点1双曲线的标准方程】1 .双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点片,E的距离的差的绝对值等于非零常数（小于IEBI）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2 .双曲线的

2、标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置1OIv标准方程-7TT=1(。0,bQZb2庐=I(Q0,b0)焦点坐标(一。,0),K(c,0)F1(0,-c),E(0,c)a,b,c的关系c2=22【题型1曲线方程与双曲线】【例】（2023高二课时练习）当QbVO时，方程-y2=b所表示的曲线是（）A.焦点在X轴的椭圆B.焦点在X轴的双曲线C.焦点在y轴的椭圆D.焦点在y轴的双曲线【解题思路】化简方程，然后判断表示的曲线即可.【解答过程】当HVO时，方程2一。丫2=力化简得与一弓=1,a方程表示双曲线.焦点坐标在y轴上；故选：D.【变式1-1（2023全国高

3、二专题练习）0,4tnx2+ny2=1为双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】先求方程m+ny2=表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【解答过程】因为方程m/+珥产=1表示双曲线，所以nm0,又当mn。时，方程m/+ny2=表示双曲线，因此“mn0,无解,A错；mO对BC,若曲线表示椭圆，则有2m+5O=Tn0,此时2n+5m,则曲线C表示焦点在y轴上的椭m2m+5圆，C对B错；对D,若曲线表示双曲线，则有m（2m+5）VOn-gnO,此时mOv2m+5,此时曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，D对.故选：CD.【变式1-3

4、（2023高二课时练习）已知工一工=一1，当k为何值时：1-kk-3（1）方程表示双曲线；（2）表示焦点在X轴上的双曲线；(3)表示焦点在y轴上的双曲线.【解题思路】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可.【解答过程】(1)因为三；匕Q=-1,即+匕2=1，方程表示双曲线,1-kc-3k-1c-3所以(A-1)(fc-3)0,解得k-3或1k3:所以k一3或1Vk03-Ar0解得1k3,所以1kQ1-c0解得次V-3,所以k0）的左、右焦点分别为Fi,F2,直线/经过&且与C的右支相交于A,8两点，若A8=2,则力BF1的周长为（）A.6B.8C.10D.12【解题思路】结合双曲线的定义来解

5、决即可.由双曲线的定义，可得4F11-IAF22a=2,BF1-BF2=2a2,所以|力F11=2+AF2fBF1=2+BF2t则三角形48&的周长为MF11+IBFI1+AB=AF2+BF2+6=AB+6=8.故选：B.【变式2-3（2023秋吉林辽源高二校联考期末）设产2是双曲线9一2二1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PA1=5|尸后贝必尸生心的面积等于（）A.24B.152C.125D.30【解题思路】利用双曲线定义求出APAFz的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后通过三角形正弦定理面积公式求出面积.【解答过程】3伊尸1|=5伊尸21=上片1=；上尸21，根据双曲线定义：

6、IPF1I-IPF2I=4,PF2-IPF2I=4=PF2=6,PF1=10,F1F2=8,根据余弦定理:CoszF1PF2=IPF1I2+P2TF1月_100+36-64_3-2PF1PF21205,则Sin乙FIPF2=SAPF1F2=IXIPa1XPF2XSinzF1PF2=24.故选：A.【题型3双曲线的标准方程的求解】【例3】(2023秋天津河西高二统考期末)设中心在原点，焦点在X轴上的双曲线的焦距为16,且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6,双曲线的方程为()AW=IBH=1C-g=1DX=1【解题思路】根据题意列式求解,b,c,即可得结果.【解答过程.双曲线的焦

7、点在X轴上,设双曲线的方程为会/=1,且c2=+R0,b(),c0,(c2=a2+b2(a=3由题意可得2c=16,解得卜=府，双曲线的方程为AS=1故选：A.【变式3-1X2023全国高二专题练习)与椭圆C:、+W=I共焦点且过点(1,5)的双曲线的标准方程为()A.X2-=1B.y2-2x2=13jC.：-占=1D.-x2=1223【解题思路】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得Q的值，再由b二口中可求得b的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【解答过程】椭圆C的焦点坐标为(0,2),设双曲线的标准方程为已一捺=1(O,bO),由双曲线的定义可得2=J12+(3+2)2-

8、J12(3-2)2=(6+2)-(6-2)=22,.,a=2,：c=2,.,b=yc2a2=2,因此，双曲线的方程为?一?=1.故选：C.【变式3-2(2023全国高三专题练习)己知双曲线的上、下焦点分别为FI(0,5),F2(0,-5),户是双曲线上一点且满足IIPFI1-IPF2=6,则双曲线的标准方程为（）A.-=1B.-=1【解题思路】根据双曲线的定义求得正确答案.【解答过程】依题意C=5,IiPF1I-IPF2II=2a=6fa=3,所以b=Vc2a2=4,由于双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程是9一5=1.故选：D.【变式3-3（2023全国高三专题练习）已知&尸2是双曲线

9、Eq-A=I（0,匕0）的左，右焦点，点、P在E上，。是线段RF2上点，若乙FiPF?=（FD:F2/）=1:2,PD=4,则当PRF2面积最大时，双曲线E的方程是()B.岩-e=1912AY-J129CY-J36【解题思路】在APRO和APFzO分别利用余弦定理得2M+m2=6/+48,再在PF/2利用余弦定理,消去X,根据均值不等式求PA七面积最大时P&，Pa的关系，结合双曲线的性质即可求解.【解答过程】如图所示设PF1=ri,PF2-m,PDF1a,F1D=x,则ZP。的二n,F2D=2%,在4PFID中由余弦定理得标=%2+168xcosa，在4PF2。中由余弦定理得tn?=4x2+1

10、6-16XCoS(-a)=4x2+16+16XCoSa,2X+得2九2+rn2=Gx2+48,在PF/2中由余弦定理得9/=n2+n2-2mncosn2+m2Tnn,联立消去X得2M+Im2+mn=72,因为S“a尸2=gmsin%当P&B面积最大时即mn最大,由均值不等式可得72=2n2+mn22泞m2+mn=3mn,当且仅当2M=n2BU2n=m时等号成立，nrn取得最大值，此时由9/=n2+4n2-2n2=3M解得X=yn,所以用七=V3所以P&2=P吊2+后昼，即aPF/z为直角三角形，且NPF1O=；，所以在P70中M+(产九)=16,解得n=25,(PF2-PF1=2a=n(=3由

11、双曲线的性质可得F1F2=2c=3n,解得(台=，(c2=2+b2(c=3所以双曲线E的方程为4一1=1,36故选：C.【题型4求双曲线的轨迹方程】【例4】(2023四川高三统考对口高考)己知)，轴上两点FI(O,-5),F2(0,5),则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为()2v2v22a-=1b-=1c=o,=1【解题思路】根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答.【解答过程】点F1(O,-5),F2(OfS)f令P为轨迹上任意点，则有IIPAI-因此动点P的轨迹是以&(0,-5),后(。，5)为焦点，实轴长为8的双曲线即双曲线的实半轴长Q=4,而半焦距c=5,则虚半轴长力=xc2-ct2所以所求轨迹方程为-=1.169故选：B.【变式4-1(2023全国高二专题练习)已知平面内两定点&(-3,0),迹为双曲线的是()A.PF1-IPF2I=7B.PF1-P2=6C.PF1