中心极限定理.docx

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1、中心极限定理中心极限定理叙述了统计中的一个重要结论:多个相互独立随机变量的平均值（仍然是一个随机变量）服从或近似服从正态分布。为介绍这个定理先要作一项准备。（一）随机变量的独立性两个随机变量XI与X2相互独立是指其中一个的取值不影响另一个的取值，或者说是指两个随机变量独立地取值。比如，抛两颗骰子出现的点数记为XI与X2,则XI与X2是相互独立的随机变量。随机变量的相互独立性可以推广到三个或更多个随机变量上去。以下要用到一个假定:X1, X2,Xn几是n个相互独立且服从相同分布的随机变量”。这个假定有两个含义：（1） Xi，M，,X龙是n个相互独立的随机变量，如在生产线上随机取n个产品，它们的质

2、量特性用工1，丫2,表示，那么可认为丫1，占,是n个相互独立的随机变量。（2）丫1，与，,X龙有相同的分布，且分布中所含的参数也都相同，比如，都为正态分布，且都有相同均值和相同方差。又如，若都为指数分布，那么其中的参数4也都相同。今后,把n个相互独立且服从相同分布的随机变量丫1，匕,;的均值称为样本均值，并记为了，即：区+玛+W纪匕（二）正态样本均值的分布定理1设1，占，,X*是n个相互独立同分布的随机变量，假如其共同分布为正态分布（,），则样本均值斤仍为正态分布，其均值不变仍为，方差2 O2（J- = Orr2这个定理表明:在定理1的条件下，正态样本均值X服从正态分布砍衣,力。n例1. 2-

3、18设1，丫2,，工9是相互独立同分布的随机变量，共同分布为正态分布N（1O, 52）,则其样本均值：9Sc服从曾（10,（今2）。这表明：的均值仍为10,万方差为25/g=2.78,万的标准差为：cr7 = 725/9 =5/3 = 1.67o X、+ X + , + X9X =（三）非正态样本均值的分布处2（中心极限定理）设,占,X乂为n个相互独立同分布的随机变量，其共同分布不为正态或未知，但其均值和方差都存在，则在n相当大时，样本均值X近似服从正态分布阳凡）。XI这个定理表明:无论共同的分布是什么（离散分布或誓分布，正态分布或非正态分布），只要独立同分布随机变量的个数n相当大时，刀的分布

4、总近似于正态分布，这一结论是深刻的，也是重要的，这说明平均值运算常可从非正态分布获得正态分布.例1. 2-19图1. 2-28中我们选了三个不同的共同分布：I均匀分布（无峰）II双单分布III指数分布（高度偏斜）_假如，n=2,那么在I的场合，2个均匀分布的变量之均值了的分布呈三角形，在n的场合，刀的分布出现中间高，在ni的场合万的分布的峰开始偏离原点。在四t,三种场合都呈现单峰状，并且前两个还有很好的时称性。在30时，三种场合下刀的分布几乎完全相同，只在位置上有些差别，这个差别是由原始共同分布的均值不同而引起的，另外，这时正态分布的峰都很高，那是因为平均后的标准差为：_。 CT 。仃一 =u

5、,诟病5.48图1.2-28有很强的直观性和说服力，这就是中心极限定理的魅力。m 1.2-28祥本均值的分布H的场合，刀的分布出现中间高，在HI的场合了的分布的峰开始偏离原点。在三种场合都呈现单峰状，并且前两个还有很好的对称性。在30时，三种场合下了的分布几乎完全相同，只在位置上有些差别，这个差别是由原始共同分布的均值不同而引起的，另外，这时正态分布的峰都很高，那是因为平均后的标准差为：ODDJ- =8,赤闻5.481. 2-28有很强的直观性和说服力，这就是中心极限定理的魅力。mi.28样本均*的分布例1.2-20J我们常常对一个零件的质量特性只测一次读数，并用这个读数去估计过程输出的质量特性，一个很容易减少测量系统误差的方法是:对同一个零件的质量特性作两次或更多次重复测量，并用其均值去估计过程输出的质量特性，这就可以减少标准差，从而测量系统的精度就自动增加。当然这不是同避使用更精密量具的理由，而是提高现有量具精度的简易方法，多次测量的平均值要比单次测量值更具有稳定性。