参数估计重要理论和公式、主要题型及历年真题.docx

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1、第七章参数估计第一节基本概念1、概念网络图点估计V从样本推断总体矩估计1极大似然估计j无偏性-估计量的评选标可有效性一致性，X区间估计单正态总体的区间估卅2、重要公式和结论设总体x的分布中包含有未知数q,%，。，则其分布函数可以表成F（x; 4,）.它的k阶原点矩匕. 二 E（X）（% = 1,2,2）中也包含了未知参数名，即也=分（优，4）。又设王，x为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为工之斗(k = l,2,m).几i=i这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有A AA1（1）点估计矩估计匕（4，%，4）二 - 2卬 i=iA AA 1几/=

2、1A AA由上面的m个方程中，解出的m个未知参数（4,夕，,仇）即为参数（优，名，）的矩估计量。A人若。为。的矩估计，g（x）为连续函数，则g（e）为g（e）的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为/（羽4,仇，4），其中仇，仇，4为未知参数。又设%，占，/“为总体的一个样本，称L（d,）= 口/（即。仇，4）/=1为样本的似然函数，简记为乙.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为Px=x = p（苍q,&,4）,则称l（m，x2,x；4，&,4）= 口（七；4，凡,）/=1为样本的似然函数。A AA若似然函数乙（%,工2, ”；仇,。2,，/）在91。,9m处取A A

3、A到最大值，则称a,必，e分别为qe,%的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。迫A=0力=1,2,，加做八A若8为，的极大似然估计,g（x）为单调函数，则g（e）为g（6）的极大似然估计。估计量的评选标准无偏性AAA设。=。（当，X2,，X”）为求知参数。的估计量。若E（。）二。，则称A。为夕的无偏估计量。E （ X ） =E （X）, E （S2） =D （X）有效性AAAA设。1 =夕（王，%，2，,X）和。2 =。2（项，乂2，了）是未知参数6AAAA的两个无偏估计量。若。（仇）。（仇），则称/比。2有效。一致性A设凡是。的一串估计量，如果对于任意的正数,都有A8| ) =

4、0,?KOA则称凡为夕的一致估计量(或相合估计量)。A八八若e为。的无偏估计，且。(e)-o(-,则。为e的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样木矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数夕。如果我们从样本王,匕2,，乙出发， 找出两个统计量d=4(匹，乂2,，乙)与%=%区，匕2,，/)(仇%)，使得区间血,21以1一二(041)的概率包含这个待估参数夕，即P仇 002 = -a,那么称区间4，为夕的置信区间，1-。为该区间的置信度(或置信水平)。单正态总体的期望和方差的区间估计设王，阳2,，须为总体X)的一个样本，在置

5、信度为1 一二下，我们来确定和b?的置信区间4，4。具体步骤如下：(i)选择样本函数；(ii)由置信度1一。，查表找分位数；(iii)导出置信区间口，%。已知方差，估计均值(i)选择样本函数以=N(0,l).o()7n(ii)查表找分位数/P -Z XA =l-a.1cr2 1 yjn(Hi)导出置信区间t4 窄 i + zl 窄L(D选择样本函数t(n - 1)(ii)查表找分位数未知方差，估计均值x-/JS/n。，求夕的最大似然估计量及矩估计量。xN ,其他.X的样本。试求氏的极大似然估例7. 5：设总体X的密度函数为)/0fM = o0,其中。0,氏为未知参数，X-X2,，X为取自计量。

6、2、估计量的优劣例7.6：设n个随机变量玉独立同分布，n-田区-x)2,1 i=l（A） S是。的无偏估计量;(B)S是。的最大似然估计量;例7.（C） S是。的相合估计量;7：设总体X的密度函数为(D)o,0x0xe其中”0为未知参数。又设玉,，”是X的一组样本观测值，求参数J的最大似然估计值。4 （02, 7分）设总体X的概率分别为X 0123p O /。,夕)=I /0,其中未知参数,X”为来自总体X的简单随机样本，求:（I） /?的矩估计量; 20（-0） e2 -20其中。（0 0xe其中 夕30是未知参数，从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,，X”，记。二min（X1,X2，,X

7、n）。（1） 求总体X的分布函数尸（才）；A（2） 求统计量e的分布函数E （%）；0如果用。作为。的估计量，讨论它是否具有无偏性。7 （04, 9分）设总体X的分布函数为（II）月的最大似然估计量.8. （06, 9分）设总体X的概率密度为e0xlf（x,o） = -ex 2其中提未知参数（o e 0/（） = ,0,x0是未知参数,a0是已知常数。试根据来自总体X的简单随机样本X1,X2X，求4的最大似然估计量。2 （92, 3分） 设个随机变量XyX0,X独立同分布，。乂1=/,又=,才乂”52=-（*一）2,则 /=1 - 1 f=l（A） S是b的无偏估计量。（B） S是b的最大似然

8、估计是。（C） S是b的相合估计量（即一致估计量）。（D） S与又相互独立。3 （93, 3分）设总体才的方差为1,根据来自才的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为50则X的数学期望的置信度近似等于0. 95的置信区间为 o4 （96, 3分）设由来自正态总体XN（4,0.92）容量为9的简单随机样本，得样本均值5=5.则未知参数4的置信度为0.95的置信区间是 o5 （00, 8分） 设0.51, 1.25, 0. 80, 2. 00是来自总体X的简单随机样本值。已知上InX服从正态分布N(4，l)。(1) 求X的数学期望EX (记EX为办(2) 求的置信度为0. 95的置信区间；(3) 利用上述结果求b的置信度为0. 95的置信区间。6 (02, 3分)设总体力的概率密度为则K, X2,x是来自总体x的简单随机样本，则未知参数e的矩估计量为7(04, 13分)设随机变量X的分布函数为1 (/1 xa,0, x0,夕1.设X,X2,X”为来自总体X的简单随机样本，(I)当a = 1时，求未知参数用的矩估计量；(II)当a = l时，求未知参数用的最大似然估计量；(III)当夕=2时，求未知参数。的最大似然估计量.8 .(05, 4分)设一批零件的长度服从正态分布N(b2),其中4,b?均未知。现从中随机抽取16个零件，