名师教学设计《垂径定理》完整教学教案.docx

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1、教师姓名单位名称填写时间学科数学年级/册九年级上册教材版本人教版课题名称垂直于弦的直径难点名称熟练运用垂径定理及其推理解决一些有关证明、计算问题。难点分析从知识角度分析为什么难该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，在教材中处于非常重要的作用。从学生角度分析为什么难这个阶段的学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、内部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会

2、进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差。难点教学方法1、教法选择:根据本节课的教学目标、教材内容及学生的认知特点，我选择问题教学法、探究教学法、实验教学法和引导发现法与情境教学法相结合。2、教学组织形式:师生互动、生生互动。3、学法指导：巴甫洛夫曾指出：“方法是最主要和最基本的东西”，因此学之有法，才能学之有效，学之有趣。根据本节课的特点，我在学法上指导学生:学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。教学环节教学过程导入实例导入，激疑引趣1.实例:同学们都学过中国石拱桥这篇课文（初二语文第三册第一课茅

3、以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为华北四宝之一，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2,导入如图，1 400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为 m,求赵州桥主桥拱的半径（精确到m）o这该怎么求呢设计意图：设计意图；通过创设富有历史意义的问题情境，对赵炒桥的历史作介绍，使学生为我国古代劳动人民的勤劳智慧感到骄傲自豪，让学生认识数学来源于生活，唤起

4、他们探究和解决问题的欲望，使学生针对问题开展枳极王动的思维活动，并在发现和解决问题过程中，品尝探究知识的快乐和获得成功的喜悦。5探究1圆的对称性用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么由此你能得到什么结论可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴。圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线，它有无数条对称轴。设计意图：让同学们通过动手操作，直观的感受圆的对称性，知道圆的对称轴。探究2垂径定理一、如图，AB是圆。的一条弦，做直径CD,使CD垂直于AB,垂足为E。1、圆是轴对称图形吗如果是，它的对称轴是什么知识讲解（难点突2、你能发现图中有哪些相等的线段

5、和弧通过看图可以解决问题1、圆是轴对称图形，它的对称轴是CD2、AE=BE,弧 AC二弧 BC,弧 AD=M BD从而，咱们可以得到：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。设计意图：利用例题的形式引出垂径定理，比直接说概念能使学生更加清楚明白的了解垂径定理。二、垂径定理的条件由上个题咱们可以知道CD是直径，CD垂直于AB,由这两个条件可以得出AE二BE,弧AC二弧BC,弧AD二弧BD所以咱们就能得到垂径定理的两个条件，1是过圆心，2是垂直于弦，能够推出该过圆心的线，平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧。强调一下：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。设计意图：明

6、白垂径定理的条件，知道垂径定理的结果，学生可以直接应用。三、垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧注意：为什么这里强调弦不是直径呢因为一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立。设计意图；通过本环节，让学生自主探究、合作交流抽象出结论，培养学生的动手操作能力，同时渗透建模、化归和符号思想。由于垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，由小组讨论表述条件与结论，并尝试将文字语言转化为数学符号语言，作为教师及时更正给出正确的几何语言，使学生建立符号感，这样也分化了难点。垂径定理的小测试：下列哪些图可以用垂径定

7、理并说明理由。图1,图3不能用垂径定理，图2,图4可以，图1虽然垂直但是不符合过圆心，图3虽然过圆心，但是不符合垂直于弦，图2图4符和两点，所以图2,图4可以用垂径定理。四、要点归纳根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备：(1)过圆心 (2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任意2个条件都可以推出其他3个结论。实例应用一、求解赵州桥的半径解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为0,半径为R.经过圆心0作弦AB的垂线0C, D为垂足，0C与弦AB相交于点D,根据垂径定理的结论，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就

8、是拱桥的高。具体计算过程如下在图中，AB = 37, CD = 7.23AD = -AB = -x37 = S.522OD = OC-CD = R-1.23在A/AOAO中，由勾股定理，WA2 = AD2 + OD2即斤= 18.5? +(A 7.23)2解得:Ab 27.23(z).赵州桥的主拱桥半径纳27.3米。课堂练习1、如图，在圆0中，弦AB的长为8cm,圆心。到AB的距离为3cm,求圆。的半径。OEA.ABAE = -AB = -x8 = 4课堂练习（难点巩固）22在RZAAO石中AO2 = OE2 + AE2AO = OE2 + AE2 = V32 +42 = 5cm答：圆。的半径

9、是5cm。2、如图，在圆。中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，0D垂直AB于D, 0E垂直AC于E,求证四边形ADOE是正方形。 0E1AC.0D1 AB, ABI AC . ZOEA = 90。, ZEA D = 90, ZODA = 90, 四边形AQO为矩形AE = -AC,AD = -AB22又AC= A3:.AE=AD 四边形AOO为正方形。1 .圆是轴对称图形。2,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。小结3,垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。4,方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答。