常用离散分布－二项分布.docx

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1、(一)常用离散分布这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。1 .二项分布我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件：重复进行n次随机试验。比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。2 2) n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败工(4)每次试验成功的概率均为p,失败的概率均为1-p。在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0,1,.,n等n+1

2、个值的离散随机变量，且它的概率函数为：n= x) =/(1一。)1 , x=O,l,3(1.2-4)WG这个分布称为二项分布，记为父乩，)，其中是从n个不同元素中取出/个的蛆合数，它的计算公式为：X)G、_ n %!( - x)!二项分布的均值、方差与标准差分别为：E(X) = npVarX-4(1 - p)=加(1-0)特例：n=i的二项分布称为二点分布。它的概率函数为：产=, x = O,l或列表如下：x |01PP它的均值、方差与标准差分别为跃 = P，gr(X) = Hl-，6X)=pQ-p)例1.2-10在一个制造过程中，不合格品率为0.1，如今从成品中随机取出6个，记X为6个成品中

3、的不合格品数，则x服从二项分布8(6 ,0.1),简记为X堆，0.1) o现研究如下几个问题：(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功” 则事件XE的概率为：PX = 1) =x0.1x(l-0.1)6-i = 6x0.1x0.95 =0.3543Uz这表明, 6个成品中恰有一个不合格品的概率为0. 3543-类似可计算X=0 , X=1 ,X=6的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：X0123456P0.53140.3543 0.0984 0.0146 0.0012 0.0001 0.0000这里0. 0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零,实际上，

4、它的概率为P 0(=6)=0. 000001 ,并不严格为零。还可以画出一张线条图(图1.27 Q)来表示这个分布(X共有7个取值)。图上的横坐标为X的取值，姒轴为其相应概率。从此图上可以看出分布的形态，哪些天上的概率大，哪些X上的概率小。假如改变成功概率p,其线条图亦会改变。比如，连抛六次硬币,耳中正面出现次数X8(6 , 0.5) O通过计算可画出其线条图现图1 . 27 (b),止匕图是对称的，如 P (X=2)=P (X=4)=0. 2343o阳1二7 一月分布p)的我条阳(2)不超过1个不合格品的概率为：P (X 1 )=P (X=O)+P a=l )=0.5314+0.3543=0

5、. 8857这表明，6个成品中不超过1个不合格品的概率为0. 8857o在实际中经常需要求形如“ X X X ”的概率，在概率论中把事件“ X X X ”的概率称为X的分布函数，也称为累积分布函数，记为F 00 ,即：F(x)=产(X x)对二项分布的分布函数已编制了数表，详见附表11,此表可帮助我们计算二项概率，例如从附表1-1中可查得：P(Xl)=0. 8857 J P(X4)=0. 9999于是可篁得：PQXW4)=P(XW4) - P (X 1 )=0. 9999-0. 8857=0. 1142(3)二项分布8(6 , 0.1)的均值、方差与标准差分别为：=缚=6 x 0,1 = 0.6VarX=吵(1 - 0=6 x 0.1 x 0.9 = 0.54式 X)=而(1 一,)=a/054 = 0.73