石墨烯电子的能带和狄拉克方程.docx

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1、石墨烯电子能带之数理演绎（2015年2月20日）图1 晶格原胞与基矢这里。=1.42 A是C-C最近邻原子间距,即正六边形单胞的边长（晶格常数）。（为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考）作者：北京东之星应用物理研究所伍勇，贺宁（计算机软件工程师）1 .石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢图1中4 =5(3,0)=可(乎7 + 9)d? (3,V3,0) =i - 5 j)由正格子基矢（1）可计算出倒格子基矢（2）：6=K（1,疯o）=料;+专）(2)由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克（Dirac）点K， K的坐标是:正 27r l 2兀=26兀;(3)K = (1, ,0) = i +j3a

2、V3 3a 9a产=竽（；3a V32 乃 T 267r 二9a下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上，称费米点，又称Dirac点或K（ K）点2 .石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量(4)H = pE(ai ai + b；bj t 1(a+bj + h.c)上式还可表为矩阵形式:b；)Y ai=zab;)(. 5.2 Pz U-t/ 、f a.jOJ模型不考虑电子自旋，订表示只对最近邻格点的电子跃迁求和，J/乃是单电子2Pz轨道能量图3参考原子舄的三个最近猴”,以2和以3J1 J L 。石墨晶格是由两类几何环境彼此不等价的碳原子A, B构成，任意选定一个格点位矢是兄的A

3、原子为参考原子，环绕它的是三个最近邻B类原子A”，瓦2和瓦3,如图3.Q： （ b.）是位于R （耳）的电子的产生（消灭）算符，（4）中的对算符Q：表示的物理过程描述被，.在瓦处消灭一个电子后又在R由产生一JJ个电子，此过程等同于电子由勺跃迁到最近邻用,跃迁能，=2.8eV。考虑电子算符的傅里叶变换：(5)哥 k这里N是晶格原胞数。跃迁发生在A, B两个不等价子晶格之间，A, B两原子相对位矢(图3)：(6)乙4 二 % 一4=4+务-用=A +舄1 +舄2将(5), (6)代入(4),将哈密顿量傅里叶展开，先考虑跃迁项+h.c) J=一仁(“ + a；bi + a：b 2 +h.c)JJ=0

4、(，5一曰为；2 +工/环文产林匹区跖文清和必时 +命)、NTA R NTaK ntKKzi N k,kN k,kN k、k利用公式:1布-。)凡Nr哈密顿跃迁项化为:-2(1 + 6.环 +汝;a + h.Ck类似计算哈密顿的原子位能项，可得22Pzz区+幻i八八二%二(44 + 泌)k由(7) (8)代入，得到动量表象的紧束缚模型二次量子化哈密顿是H = % E(44 + 康 3)-0 (1 + e，2)遒3+ h.c (9)kk3求解薛定泻方程和能量本征值石墨烯是单层2维晶体，碳原子的2s, 2p“，2pv轨道通过乎2轨道杂化形成共面b键,而2p2电子形成垂直于。共价平面之上的离域大乃键

5、。象。铺垫的刚性平面之上自由流动的电子气，电子参与石墨烯的一切外在物理过程和化学反应，决定了石墨烯的电子结构和性质。根据电子薛定愕定态方程W （幼=（攵）|（幻）（10）石墨烯一个原胞内包含两个不等价原子A, B,其2Pz电子态基矢分别选取为:R/）= 6；|0，色=团0这里|0）是粒子真空态。（9）表达的紧束缚哈密顿/（%）可以写为矩阵形式：(11)为 Hl2l（0akHa；0）0akHb：0）/ H22bkHa；0）0bkHb；0）_设系统的电子态矢量（波函数）为：I （Z） = Cje（切+ C2| 2伏代入薛定愕定态方程（10）有（” ） ）+ C?| 2）=。（12）由矩阵表达式（1

6、1）及方程（12）有非平凡解的条件得到久期方程如下:H、1EH2iH12H2-E(13)下面先计算哈密顿矩阵（11）的矩阵元，将（9）代入（11）,乜2=。同“团。=为幻。+怦片4幻。）k-2（i+/必向+产电）。同康/康|。）+- 2。+ /向+建电）0同44团o）k=12（1 + 6一向向+6一必心）灯火，k=-z（l + 必哥+ ”电）同样计算方法可得二2pzf21=-，(1 + /吊+屋电）将以上结果代入(13)得:=0(14)对应石墨烯是理想结构的情况，可以选取原子轨道能级力厂=0作为不能带能量E(Z)的参考点。展开(14),解得石墨烯的能带：“E2 =/(1 + *向 + 理2)(

7、i + 产再 + %)=t 3 + 2cos(Z 4) +2cos(Z &) +2cos伙 一十)其中k，=(，右)(k-a, = k -一 23a 43a爹h)a 7k.3a 7 Ca 7=-k. +kk -(d-a2) = 43aky经过初等三角函数和差运算后，得到石墨烯能带，即乃甩子的色散关系石(攵)：E (kx, ky) = f-3 + 2cos(a/3v,) + 4cos() cos()(”)作者将(15)尝试用Mathematica软件作图，如图4所示，号对应较低乃轨道能谱，+号对应较高的,反键轨道能谱.。作者曾在参考文献(2)(3)粗略计算过石墨烯原子片的电子态密度(Densit

8、y of states (DOS),如图5所见，EF以下的价带(乃)完全被电子占据，近满带，而EF以上导带(%*)空空荡荡，视为空穴占据，近空带，导带与价带是连通的，在狄拉克点附近DOS接近零。对于零温，由(15)描述的能带，乃带与/带关于E=EF=0完全对称，二者在布里渊区高度对称的六个K点相交，费米面也刚好穿过，或说费米面在这里退缩为共面的六个点，位于价带导带之间，成为石墨烯导带和价带的对称面，所以石墨烯是零带隙的半导体，因而有卓越的导电性。在K点附近，图(4)所描绘的能量与动量的色散关系是线性的，这直线在K点绕布里渊区(B.Z)平面的垂线旋转一周，形成对顶的双圆锥，称狄拉克锥。这种独特的

9、能带结构，决定了石墨烯电子的无质量狄拉克费米子的属性，不能再用传统薛定谭方程描述，必须建立石墨烯的狄拉克方程，关于石墨烯2维狄拉克方程的数理演绎请见我们将撰写上传的后续文档。图6是用MATLAB软件制作的能带图，它在复制到Word过程中，在狄拉克锥尖端细节丢失较多，但海浪与彩虹交映齐飞的景象，可能更显示石墨烯的独特不凡，我们愿意将它呈现在这篇文档里。kx-47图4.石墨烯电子的能带结构。价带工与导带/相交于6个Dirac点（K点）DOS图5.石墨烯原子片的电子总状态密度CDOS）54321012345 060402,0204,06k k k ) o o O0 0 0 0 dd d图6.石墨烯电

10、子的能带结构。(MATLAB)参考文献1) . A. H. Castro Neto, F. Guinea et al.: The electronic properties of graphene, 14 January 20092) .伍勇：碱金属在石墨表面化学吸附的EHT研究，复旦学报(白然科学版)，No.2 /20003) .伍 勇：Theoretical Study on Electronic Properties of Potassium Adsorption on Graphite Surface,发光学报，No. 1 /2004.4)伍勇，贺宁：石墨烯能带旋转图，石墨烯能带旋转图

11、b,视频剪辑(.avi) 2015年2月22口http:附录资料：不需要的可以自行删除超宽超深地下连续墙施工工艺一、概述武林广场站位于杭州市中心广场一武林广场东北角，是地铁1号线与3号线的换乘车站，车站长161.75m,标准段宽36.6 m,底板埋深约26.4m,车站为地下三层四柱五跨三层结构，采用盖挖逆作法施工。车站围护结构采用1200mm厚地下连续墙，墙幅宽度为6.0m,深度为48m左右，十字钢板接头形式，单幅钢筋笼重约703设计要求进入中风化岩0.5m。二、工法特点地下连续墙工法问世以来，迅速的占有了广阔的市场，地下连续墙工法主要有以下几方面的优点。1、施工时振动小，噪声低，非常适于在城

12、市施工；2、墙体刚度大，用于基坑开挖时，极少发生地基沉降或塌方事故；3、防渗性能好；4、可以贴近施工，由于上述几项优点，我们可以紧贴原有建筑物施工；5、可用于逆作法施工；6、适用于多种地基条件；7、可用作刚性基础；8、占地少，可以充分利用建筑红线以内有限的地面和空间,充分发挥投资效益；9、功效高、工期短，质量可靠。当然，所有的事物都有两面性，地连墙工法也存在以下缺点:1、在一些特殊的地质条件下（如很软的淤泥质土，含漂石的冲积层和超硬岩石等），施工难度很大；2、如果施工方法不当或地质条件特殊，可能出现相邻槽段不能对齐和漏水的问题。3、地下连续墙如果用作临时的挡土结构，比其他方法的费用高；4、在城

13、市施工时，废弃泥浆的处理比较麻烦。三、施工方法及操作控制要点1、施工优化控制的要点1.1 地下连续墙一般宽为6m,墙厚1.2m属于超宽地连墙，在施工技术方面还不是很成熟，机械方面相应的成槽机、反力箱、大型起重设备等的应用都是经过反复计算在经济安全的前提下确定的。1.2 在成槽过程中机械自身的垂直控制系统13由于采用十字钢板对刷壁造成一定难度，在经过研究后采用在成槽机抓斗上安装侧铲进行刷壁然后再用钢刷刷壁器进行刷壁。1.4 在地连墙施作过程中要穿越承压水层，为防止开挖过程中承压水绕流，在地连墙内预埋注浆管，在地连墙全部达到强度后进行墙趾注浆1.5 本工程反力箱放置深度达到4352m,混凝土浇筑时

14、间也长达8小时左右，反力箱自重、混凝土的握裹力和土体的摩擦力极大，为顺利拔出反力箱在混凝土浇筑完34小时后，先用液压油顶对其进行松动，在混凝土初凝后在进行起拔。2、关键工序施工方法及控制要点2.1道路硬化因地下连续墙施工过程中，成槽机械及吊运钢筋笼的大型履带式起重机需要在场地内来回行走，我单位根据以往的经验并结合本工程的实际情况，对结构内侧及导墙外侧1m的范围内浇筑30cm厚C20钢筋混凝土路面，配筋采用16的螺纹钢横向间距200 mm、纵向200mm,双层双向布置，并与导墙筑成一体。2. 2导墙的施工导墙采用钢筋混凝土结构，壁厚20cm,配筋为单层双向（P14200mm,导墙净宽1250mm,导墙应和附近路面一体浇捣.导墙沟（放坡比为1:0.5）采用挖掘机开挖，人工配合修整