2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 2-3直线的交点坐标与距离公式2-3-1两条直线的交点坐标2-3-2两点间的距离公式 学案.docx

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1、2.3.1两条直线的交点坐标2. 3.2两点间的距离公式学习任务核心素养必备知识情境导学探新知情境趣味导学顼习素养感知1 .能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.（重点）2 .会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.（难点）3 .探索并掌握平面上两点间的距离公式.（重点）1 .通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养.2 .通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.【情境与问题点P（X0,在直线4H%+U0上，那么我们会有力为+旗+UO,当/（刘，同时在两条直线4x+Ay+G=0和4x+兄y+G=O上时，我们会有4岗+6,必+C=0（=1,2）,那么点,就是

2、这两条直线的交点.下面我们就来研究两直线的交点问题.知识点1两条直线的交点已知两条直线的方程是h4x+8y+G=0,:4x+8y+C=0,设这两条直线的交点为七则点P既在直线A上，也在直线E上.所以点尸的坐标既满足直线人的方程4/+尻y+G=O,也满足直线心的方程4x+星y+C=O,即点的坐标就是方程组4x+Ay+G=0,4x+iy+C=0的解.体验1.直线x+y=5与直线x一片=3交点坐标是()A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1)x+y=5,1x=4,B解方程组C得因此交点坐标为(4,1),故选B.-y=3ty=1,知识点2两直线的位置关系和方程组解的个数的关系直线:4*

3、+4y+G=0(4,笈不同时为0)；:4x+反y+G=0(4,反不同时为0)的位置关系如表所示.方程组4x+8y+G=0也刀+郎+0=0的解一组无数组无解直线1和A公共点的个数一个无数个零个直线4和心的位置关系fix重合4x+Ay+G=0体验)2若方程组jyu+Ay+s=o无解,则直线九：4x+凡+G=O与直线&：2x+%+C=0的位置关系是.172方程组无解，则4与，2无公共点，从而九，2.体验3.直线九4xy+3=0与直线为3x+12y-11=0的位置关系是.72由4X3+(-1)X12=0得A_1/z.知识点3两点间的距离公式(1)平面上的两点A(*,71),月(如间的距离公式IA知=G

4、M疗+此一讨.(2)两点间距离的特殊情况原点0(0,0)与任一点P(X,y)间的距离IOP=7+.当H2X轴5=时，-冏=1也一MI.当月Ey轴(汨=意时，IaqI=1xzM.思考)两点月(如力)，2(如间的距离公式是否可以写成心知=4汨一+%一川的形式？提示可以，原因是N才2%?+%=yX1典2+yH2也就是说公式中P,8两点的位置没有先后之分.体验4.已知点A(4,2),2(2,-2),则PxP2=.25IP12=4-22+2+22=20=25.关键能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养;口类型1两条直线的交点问题【例1】若直线x+6y+9=0经过直线5彳一6y-17=0与直线4x+3y+

5、2=0的交点，则6等于().2B.3C.4D.5(2)直线2x+3y-A=0和直线1b+12=0的交点在A轴上，则A的值为()A.-24B.24C.6D.+6(I)D(2)A(I)解方程组5-6y17=0,4x+3y+2=0,则直线x+6y+9=0经过点(1,2),所以1-26+9=0,解得方=5,故选D.(2)设交点坐标为(旬0),则有当两直线的交点在坐标轴上时，可设出交点坐标为(a,0)或(0,抗,然后代入直线方程求解.跟进训练1.三条直线ax+2y+7=0,4x+y=14和2x3尸14相交于一点，则a=3彳解方程组4x+y=14,2-3y=14,.y=-2.所以两条直线的交点坐标为(4,

6、-2).由题意知点(4,一2)也在直线ax+2y+7=0上，将(4,2)代入，得aX4+2X(2)3+7=0,解得=一7类型2过定点(两条直线交点)的直线【例2】(D直线加-3y+2m+3=0,当初变动时,所有直线都经过的定点坐标为()A.(一2,1)B.(1,2)C.(1,-2)D.(2,1)(2)过两直线2-3y-3=0和x+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为.(I)A(2)15x+5y+16=0(1)方程-3y+2+3=0可化为%J+2)-3y+3=0,x+2=0,x=-2,令得33y=0,Iy=1即直线mx3y+2勿+3=0过定点(一2,1),故选A.(2)法一：解方

7、程组2x3y3=0,x+y+2=0,所以两直线的交点坐标为卜|,又所求直线与直线3x+y-1=O平行，所以所求直线的斜率为-3.故所求直线方程为y+=-3),即15x+5y+16=0.法二：设所求直线方程为(2x3y3)+4(+y+2)=0,即(2+Qx+(43)y+(243)=0.(*)由于所求直线与直线3a:+y-1=0平行，所以有(2+X)X1-(4-3)X3=0,得X=当代入(*)式，得(2+9彳+管一3)y+(2X?3)=0,即15x5y+16=0.符合条件.母题探究本例中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？解设所求直线方程为(2-3y-3)+4(+y+2)=0,即(2+)+(3)y

8、+(2X3)=0,由于所求直线与直线3y-1=0垂直，3则3(2+4)+(43)X1=O,得X=所以所求直线方程为5-15y-18=0.思领悟1 .含有参数的直线恒过定点的问题(I)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)法二：若能整理为4x+8+G+X(4x+员y+C)=O,其中X是参数，这就说明4x+V+G=0,了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组，I,八解得.若整理成y-y.4x+必y+C=O=Aa一胸)的形式，则表示的直线必过定点(胸，yo).2 .经过两直线交点的直线方程经过两直线力：4

9、x+5y+G=0,I2:4x+为+G=O交点的直线方程可写为4x+3y+G+4(4x+晟y+C)=O(它不能表示直线).反之，当直线的方程写为4x+仇+G+4(4x+民y+C)=O时，直线一定过直线h：4x+3y+C=0与直线:及彳+良y+C=O的交点.跟进训练2. (1)经过点P(IO)和两直线入x+2y-2=0,A：3*-2y+2=0交点的直线方程为(2)若aR,则宜线(a-1)-y+2a-1=0恒过定点x+y-1=0(2)(-2,1)设所求直线方程为x+2y-2+(3-2y+2)=0.Y点P(1,0)在直线上，1-2+/I(3+2)=0.=.；所求方程为x+2y2+(3x2y+2)=0,

10、即x+y1=0.(2)方程(a1)xy+2a1=0可化为a(x2)xy1=0,x+2=0,x=-2,令1得I-y-=0tIy=1即直线(a1)xy+2a1恒过定点(一2,1).I1类型3两点间的距离公式及其应用例3(对接教材以例题)在直线2-3y5=0上求一点P,使点P到点4(2,3)的距离为TN则点尸的坐标是()A.(5,5)B.(-1,1)C.(5,5)或(-1,1)D.(5,5)或(1,-1)(2)如图，在44?C中，I必=|1,是比边上异于8C的任意一点，求证：I四F=D2+BDDC,(DC设点尸(X,。，则y=2/=13,得(X2)2+(4F3)=13,即(2)2=9,解得x=1或x

11、=5.当x=-1时，y=1；当=5时，y=5,尸(-1,1)或(5,5),故选C.(2)证明如图，以花的中点为原点。，比所在的直线为彳轴，建立直角坐标系.设f(0,a),B(-b,0,Cb,0),(加,0)(一8欣6).WJ42=(-O)2+(0-a)2=a2+/2,AP12=-0)2+(0-a)2=+a2,BDDC=m-bb-m=b+i)(b-ni)=1f-f：.AD2+BDDC=g,：.AB2=AD2+BDDC.d思领悟坐标法及其应用(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：让尽可能多的点落

12、在坐标轴上，这样便于运算；如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；用坐标表示有关的量；将几何关系转化为坐标运算；把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟进训练3. (1)力犯三个顶点的坐标分别为力(-4,-4),以2,2),C(4,-2),则三角形力8边上的中线长为()A.26B.65C.29D.13如图所示，已知劭是力比边上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2+BCi-AC2=2BD2.(DA14的中点

13、的坐标为(一1,-1),/.ICD=y142H1+22=J26.(2)证明如图所示，以力C所在的直线为X轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系Dy.设B(b,C),C(a,0),依题意得A(-a,0).ab2+bc2-ac2=(a2c2ab)2(2a)2=2才+2Z+22,=2ZM2c2,21劭12=2(方冷=22+21,所以|48+|aT-；|T=2)2.学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1.直线2x+y+1=0与直线xy+2=0的交点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限联立2x+y+1=0-y2=0,解得=-1,r=.交点（-1,1）在第二象限.故选B.2.已知力(-1,0),6(5,6),3,4),I则房的值为（）ICd1a31B-2C.3D.2D由两点间的距离公式，得AC=3-12+4-02=42,ICB=3-52+4-62=22,g逑1122J3.若直线ax+by-11=0与3x+4y-2=0平行，并且经过直线2x+3y-8=0和工一2y+3=0的交点，则&8的值分别为（）A.-3,-4B.3,4C.4,3D.-4,-3由2x+3y8=0,x2y+3=0,得仁:y=2.fa+2b11=0,a=3,6=4.34,4.若两直线7:Arzy+12=0与72：2