2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-4 曲线与方程 学案.docx

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1、2.4曲线与方程新课程标准解读核心素养1.结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系数学抽象2.通过具体实例理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念直观想象R读I教I材知识梳理以本为本抓双基防情境导入笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”,是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高.其中有一个很有名的故事,笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式:r=(I-Sin).你知道这是何意?其实这就是笛卡尔的爱心函数,图形是心形线(如图所示),是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外

2、一个圆周滚动时所形成的轨迹,因其形状像心形而得名.问题你能举例说出条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗?町新知初探知识点曲线与方程1 .曲线的方程、方程的曲线在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程尸a,),)=o之间具有如下关系:(1)曲线C上的点的坐标都是方程尸a,y)=0的解;(2)以方程尸a,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程尸(X,y)=0的曲线,方程尸(x,y)=0为曲线C的方程.2 .求曲线的方程的步骤口想一想1 .从集合角度怎样理解曲线与方程的关系?提示:设A是曲线C上的所有点组成的点集,8是所有以方程尸a,y)=o的实数解为坐标的点组成的点集,那么集合A与集合8具

3、有一一对应关系.即A中任一元素在8中都有唯个元素与之对应,并且8中任一元素在A中都有唯个元素与之对应.2 .怎样判断曲线产a,y)=0与G(x,y)=0是否有交点?F(x,y)=0,提示:转化为方程组、八是否有实数解.G(x,y)=0侈做一做1.方程(3xy+1)(y-x2)=0表示的曲线为()A.两条线段B.一条直线和半个圆C.一条线段和半个圆D.一条射线和半个圆解析:C由1220,解得一1WXW1因为(3xy+1)(y-d7二?)=0,所以3xy+1=0或y=、1X2.故3xy+1=0表示一条线段,因为y=1-2,所以2+2=1,y20,即y=)表示以原点为圆心的半个圆.故选C.2.平面直

4、角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A.W-M=IB.xy=C.IM-MI=ID.xy=解析:C设点的坐标为(x,y),由题意可知,平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是IM一|训=1,故选C.3.曲线*+y2+2x=0与曲线y+*=0的交点个数是解析:由研I题I型典例精析A-学用结合通技法题型一曲线与方程关系的应用例1(琏接敌科书第124页例1)分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(1)过点A(2,0)平行于),轴的直线与方程IX1=2之间的关系;(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程孙=5之间的关系;(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x

5、+y=0之间的关系.解(1)过点A(2,0)平行于),轴的直线上的点的坐标都是方程园=2的解;但以方程W=2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此,国=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程个=5;但以方程盯=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此,与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x+y=0;反之,以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此,第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是j+y

6、=O.I通性通法I判定曲线和方程的对应关系的策略(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”,称为纯粹性:(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性.注意只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.Z跟踪训练1 .方程1+y2=I(X.y0)表示的曲线是()解析:D因为x2+j2=1表示圆心在原点,半径为1的圆,又孙0,说明图像在二、四象限,故选D.2 .已知条件甲:曲线C是方程式-y)=0的曲线,条件乙:曲线C上的点的坐标都是方程Kt,y)=0的解,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

7、充分也不必要条件解析:A因为若曲线是方程外,),)=0的曲线,则曲线上的点的坐标都是方程/,y)=0的根;但若曲线上的点的坐标都是方程/U,y)=0的根,曲线不一定是方程兀t,y)=0的曲线.故甲是乙的充分不必要条件.故选A.题型二由方程研究曲线的性质【例2数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:X2厂片、+V=1+园丁就是其中之一(如图).给出下列三个结论:(),曲线C上任意一点到原点的距离都不超过也;j曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3;曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是()A.B.C.D.解析因为f+V=1+My1+xy1+Wk,所以

8、f+y22,产#2、故曲线C上任意一点到原点的距离都不超过啦,正确;当X=O时,yJ-T-J=1,当x=1时,y=0或1,故曲线过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,弋修1),(-1,0),(1,1)6个整数点,正确;当把曲线的6个整数点连接后,可求出矩形加三角形的面积和为3,显然曲线面积大于3,故错误.答案BI通性通法I讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面(1)研究曲线的组成和范围,即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的,在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围;(2)研究曲线与坐标轴是否相交,如果相交,求出交点的坐标,因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点

9、:(3)研究曲线的对称性(关于X轴、y轴、原点);(4)研究曲线的变化趋势,即丁随X的增大或减小的变化情况:(5)根据方程画出曲线的大致形状,在画曲线时,可充分利用曲线的对称性,通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像,然后根据对称性画出整条曲线.闭跟踪训练y(多选)如图A(2,O),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以二、0。为直径的圆上一段圆弧,CB是以BC为直径的圆上一段圆弧,BA-Hir是以QA为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线见则下述正确的是()A.曲线W与X轴围成的面积等于2丸B.曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C.a所在圆的方程为X2+0-1)2=

10、11),半径为1,故圆的方程为+。一1)2=1,C正确;设与赢的公切线方程为y=x+瓦根据图像知A=2+1,即x+y=也+1,D正确;故选B、C、D.题型三求曲线方程角度一直接法求曲线方程例3(旌接教科书第126页例3)已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆C的弦OP,求OP的中点。的轨迹方程.解如图所示,连接QC,因为Q是OP的中点,所以NoQC=90。.设Q(,y),由题意,得oq2+qc2=oc2,即x2+x2+-3)2=9,所以OP的中点。的轨迹方程为f+Q号-=/去掉原点).I通性通法I直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略直接法求轨迹方程,就是设出动点的坐标y)f然后根据题

11、目中的等量关系列出x,y之间的关系并化简.主要有以下两类常见题型:(1)题目给出等量关系,求轨迹方程,可直接代入即可得出方程:(2)题中未明确给出等量关系,求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系,得出方程.注意求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性.Z跟踪训练已知点A(-4,0),B(-1,0),动点M(x,y)满足IMAI=2则动点M轨迹方程为()A.x2y2=4B.,+)?=1C.x25=1D.y2=4x解析:AV(x,y)9A(-4,O),B(1,0),MA=(x+4)2y2,IMB1=(x+1)2+y2,又动点M(x,y)满足M=2M6,(+4)2+=2(x+1)2+y2t两边

12、平方后可得f+8x+16+y2=4f+8x+4+4y2,整理后可得f+y2=4,故选A.角度二代入法求曲线方程【例4】已知动点M在曲线/+)2=1上移动,M和定点8(3,0)连线的中点为P,求P点的轨迹方程.解设P(x,y)fM(xot州),.P为MB的中点.(xo+3JX=2xo=2-3,V即Ov-1Qbo=2y,U2,又.M在曲线x2+y2=1上,(2-3)2+4y2=1,P点的轨迹方程为(2-3)2+4f=1.鼠母题探究1.(变条件)本例中把条件“M和定点8(3,0)连线的中点为P”改为=2M”,求P点的轨迹方程.解:设P(x,y),M(Xo,州),则Mb=(-o,y一州),PB=(3-

13、Xt-y)f由丽k=2T得,J-xo=(3x)y-yo=-2yt2,=3x-6,即又TM在曲线f+y2=1上,Uo=3y,(3-6)2+9/=1,点P的轨迹方程为(3-6)2+9y2=1.2.(变条件)本例中把条件“M和定点8(3,0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点8(3,0)连线的中点为AT,试求动点P的轨迹方程.解:设P(x,y),M(xot州),.M为P8的中点.x+3Xo=-2-,又在曲线f+y2=1上,和哆+(3=1即(x+3+)t2=4,P点轨迹方程为(x+3)2+y2=4.I通性通法I代入法求解曲线方程的步骤(1)设动点P(A,y)t相关动点Ma0,yo):(2)利用条件求

14、出两动点坐标之间的关系Xq-f(,y),yo=g(%,);(3)代入相关动点的轨迹方程;(4)化简、整理,得所求轨迹方程.因随堂检测1 .下列四个图形中,图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()解析:D对于A,点(0,1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,曲线上第三象限的点,由于xVO,yO,不满足方程,排除C,故选D.2 .若M(1,2)在曲线/+)2=2上,则。的值为()A.1B.4C.ID.3解析:A因为M(1,2)在曲线f+y2=2上,代入曲线方程可得=*3.方程E+(j+2)2=0表示的图形是()A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点-2=0,fx=2,解析:C由已知得ICA即C所以方程表示点(2,2).故选C.b+2=0,Iy=-2.4.(多选)方程(x+y)=1所表示的曲线()A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.与直线X=-I没有交点D.不经过第三象限解析:BCD在曲线

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