2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-2-2 第二课时 直线的两点式和一般式方程 学案.docx

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1、第二课时直线的两点式和一般式方程R读I教I材知识梳理6以本为本抓双基物情境导入上体育课时，老师检查学生队伍是不是一直线，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上.问题老师如此做的依据是什么？R新知初探知识点一直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件PI（XI，川和尸2。2，J2）其中K1#X2，J1y2在X轴上截距为a,在），轴上截距为b图形F,OX方程y-V1-Y2-Y1X2X1X1y.-t=ab适用范围不表示垂直王坐标轴的直线不表示垂直王坐标轴及过凰囱的直线给想一想利用两点式求直线方程必须满足什么条件？提示：X1W%2且yiW”，即直线不垂直于坐标轴.知识点二直线

2、的一般式方程1 .定义：关于达），的二元一次方程At+8v+C=0（其中的8不同时为0）叫作直线的一般式方程，简称一般式.2 .系数的几何意义当80时，直线斜率女=二3在y轴上的截距力=二后(2)当B=O,AWo直线斜率不存在，直线过点(一苧，0)；(3)V=(,8)为直线Ax+By+C=O的一个法向量.的想一想直线与二元一次方程有怎样的关系？提示：(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于4,y的二元一次方程表示.(2)每个关于居)，的二元一次方程都表示一条直线.每做一做1 .直线-5y+1=0的倾斜角为()A.30oB.60C.120oD.150解析：A由直线的一般式方程

3、，得它的斜率为坐，从而倾斜角为30。.2 .直线-2y=4的截距式方程是.解析：求直线方程的截距式，必须把方程化为+方=1的形式，即右边为1,左边是和的形式.答案：f+13 .经过点A(2,5),B(3,6)的直线方程为.V-6x+3解析：由两点式得直线方程为=H,即x+5y-27=0.D-O2十3答案：x+5y-27=0金研I题I型典例精析a学用结合通技法题型一直线的两点式方程【例1】(1)已知aABC的三个顶点分别为42,8),B(4,0),C(6,0),则过点B将AABC的面积平分的直线方程为()C.2r+y-4=0D.-2y+4=0(2)已知两点A(1,2),B(m,3),则直线48的

4、方程为.解析(1)由A(2,8),C(6,0),贝A,C的中点坐标为0(4,4),则过点8将aABC的4-O面积平分的直线过点ZX4,4),则所求直线方程为y=4_(_4)-(+4)，即12+4=0,故选D.(2)当阳=一1时,直线AB的方程为x=1；当阳-1时,直线AB的方程为匕=E,即y=x+,+2.所以X=-1或)=/+1+2Jm-r1m-1,tn-rm1答案(I)D(2)x=-1或)，=舟+舟+2I通性通法I求直线的两点式方程的策略及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程；(2)

5、由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.跟踪训练1. 一条光线从A(T0)处射到点B(0,1)后被)，轴反射，则反射光线所在直线的方程为()A.y=2x+1B.y=-2x1C1111C.y=2-2D.y=2x2解析：B因为点A(一*0)关于y轴的对称点是%，0)，由题意知M,0)在反射光线所在的直线上.又因为点8(0,1)也在反射光线所在的直线上，所以反射光线所在直线1x?的方程为巳=T，即y=-2r+1.故选B.100-12.若点P(6,在过点A(3,2),B(4,3)的直线上，则m=.解析：因为直线过

6、点A(3,2),3(4,3),则直线方程为号=E，整理可得)，=1,又P(6,M)在直线上，所以61=，即m=5.答案：5题型二直线的截距式方程【例2】(链接教科书第87页例4)求过点A(5,2),且在坐标轴上截距互为相反数的直线,的方程.解法一：当直线/在坐标轴上的截距均为O时，方程为y=点,即2r5)=0;当直线/在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为1=1,即1y=，aaJ又Y/过点A(5,2),.5-2=,=3,的方程为xy3=0,综上所述，直线/的方程是2x5y=0或xy3=0.法二：由题意知直线的斜率一定存在.设直线的点斜式方程为y-2=k(x-5)i2x=0时，y=25kty=0时

7、，X=57.K根据题意得2-5&=(5一9,解方程得或122当女=5时，直线方程为y2=(x5),即2x5y=0;当2=1时，直线方程为)，-2=1Xa5),即-y-3=0.鼠母题探究(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在X轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解：当直线/在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y=手,即2-5y=0当直线/在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为/+)=1,529又/过点(5,2),五+=1,解得=,/的方程为x+2y-9=0.I通性通法I截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直

8、线方程，用待定系数法确定其系数即可:选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直;(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.团跟踪训练1 .直线京一；=1在两坐标轴上的截距之和为()A.1B.-1C.7D.-7解析：B直线在X轴上截距为3,在y轴上截距为一4,因此截距之和为一1.2 .(多选)已知宜线/经过点(1,2),且在两坐标轴上的截距相等，则宜线/的方程可能为()A.2-y=0B.x+y3=0C.xy+1=0D.3x+y-5=0解析：AB若直线/的截距为0,可设其方程为y=h,由直线/经过点(1,2)可得，2=k1,解得左=2,故直线/的方程为y=2x,即2xy=0

9、.若直线/的截距不为0,可设其方程为升-1,由直线/经过点(1,2)可得，解得。=3,故直线/的方程为升C4“4C4J1=1,即x+y3=0.综上所述，直线/的方程为2xy=0或x+y3=0.故选A、B.题型三直线的一般式方程【例3】(链接教科书第88页例5、例6)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是小且经过点45,3)；(2)经过4(-1,5),BQ,-D两点:(3)经过点A(3,1),V=(3,-2)是直线的一个法向量.解(1)由点斜式方程得y-3=5-5),整理得巾%)，+3-53=O.Ik1_W-EV-5-(1)(2)由两点式万程得二5=2(1)，整理得2x+

10、y-3=0.(3)法一：因为v=(3,-2)是直线/的一个法向量，所以可以设/的方程为3x2)，+C=0,代入点A(3,1)，可求得C=-7,因此所求方程为3x2y7=0.法二：设Pa,y)为平面直角坐标系中任意一点，则尸在直线/上的充要条件是AP与v=(3,一2)垂直.又因为=。-3,y-1),所以3X(-3)+(2)XU-I)=0,整理可得一般式方程为3-2y1=0.I通性通法I求直线一般式方程的策略当AWO时，方程可化为x+/+苧=0,只需求*彳的值；若BW0,则方程化为先+yj=0,只需确定会W的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不

11、简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.Z跟踪训练1 .已知直线I的倾斜角为60%在y轴上的截距为-4,则直线I的点斜式方程为，截距式方程为,斜截式方程为,一般式方程为解析：点斜式方程：y+4=3(-0),截距式方程：俞+=1,斜截式方程：y3=3x4,一般式方程：y3xy4=0.答案：y+4=3(-0)充+=1j=3-43小-y-4=02 .直线x+y+2=0的斜率是,在y轴上的截距为.解析：直线x+y+2=0的斜截式方程为y=-x2,因此，直线x+y+2=0的斜率为-1,在y轴上的截距为-2.答案：一1一2因随堂检测1 .已知点A(1,2),B(1,一

12、2),则直线AB的方程是()A.2-y=0B.2x+y-4=0解析：AY直线的两点式方程为口1=匚江，代入41，2),8(1,2)得三X2-yy1整理得直线AB的方程是2-y=0.故选A.2 .在X轴和,，轴上的截距分别为-2,3的直线方程是()A.f+1B.5+1c+3=1d-+2=1解析：C由直线的截距式方程可得士+1=13 .已知直线/的两点式方程为看名=F;-E，贝心的斜率为()-3-U3Q_5)3 3A.-B.OO3-2-C3-2D.v-0X-(-5)-3-O=3-(-5),所以直线/过点(一5,0),3),所以/的斜率为t4乎=，.故选A.4 .(多选)若ACO,BCvO,则直线Av+8y+C=O经过()B.第二象限A.第一象限C.第三象限D.第四象限解析：ABC由题意，直线方程为y=一条一后因为Ae0,BCO,所以呆0,翁0,常=,俱0,0,故直线过第一、第二和第三象限.故选A、B、C.5 .ZXABC中，已知A(2,1),B(2,3),C(0,1),则BC边上的中线所在直线的一般式方程为.解析：线段BC的中点。(-1,2).BC边上的中线所在的直线的方程：一1=，/2(X-2),化简为一般式方程：x+3y5=0.答案：x3-5=0