2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-6-1 双曲线的标准方程 学案.docx

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1、2.6双曲线及其方程2. 6.1双曲线的标准方程新课程标准解读核心素养1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用数学抽象2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程直观想象及读I教I材知识梳理吁以本为本抓双基购情境导入如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点尸,尸2上，把笔尖放在拉链的拉手历处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.问题1类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？/新知初探知识点一双曲线的定义如果尸2是平面内的两个定点，。是一个正常数，且2VQB,则平面上满

2、足IIPF1I一|P&|=2a的动点P的轨迹称为双曲线,两个定点尸尸2称为双曲线的焦点,两个焦点的距离IRFN称为双曲线的焦距.的想一想1 .双曲线的定义中，若为=I尸I尸2,则点P的轨迹是什么？2P尸2呢?提示：若2=R尸2,点P的轨迹是以R,尸2为端点的两条射线；若%内尸2,点P的轨迹不存在.2 .定义中若常数为0,则点P的轨迹是什么？提示：此时尸的轨迹为线段尸正2的垂直平分线.知识点二双曲线的标准方程焦点在X轴上焦点在y轴上标准方程念壬三1（a0,於0）虹泾ISO,。）图形b匕PF2XN焦点坐标R(c,0),Fz(c,0)一(0，C)，2(0,C)a,b,c的关系C2=-d1-tr占一*

3、占巧记双曲线焦点位置与方程的关系焦点跟着正项走，即若A2项的系数为正，则焦点在X轴上：若）2项的系数为正，则焦点在y轴上.的想一想双曲线中,b,C的关系如何？与椭圆中mb,C的关系有何不同？提示：双曲线标准方程中的两个参数。和仇确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里。2=/，即/二标+尻，其中c,cbt与力的大小关系不确定；而在椭圆中力2=/,即标=尻+/,其中a0,ac,。与人的大小关系不确定.侈做一做1 .设P是双曲线标一亍=1右支上任意一点，F,尸2分别是双曲线的左、右焦点，则IPQ1-PF2=()B.43A.23C.8解析：CP是双曲线看一D.16=1右支上任意一点，Fi,

4、尸2分别是双曲线的左、右焦点,所以IPF1I-IP尸2=20,又标=16,a=4f2=8,所以IPQ1IP尸R=8.故选C.2 .以a(1O),F2(3,0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程是()2A.yy2=1B.yy2=1x2v2C.y2=1D.x2-2=1解析：A由题意得双曲线焦点在%轴上且c=3,设双曲线的标准方程为1一=411(aO,方0),则有2+j2=c2=3,京一k=1,解得2=2,h2=,故所求双曲线的标准方程为Ay=1故选a.3.双曲线与一y2=1的焦距为.解析：令双曲线与一产=1的半焦距为c,则有/=4+1=5,解得C=小，所以双曲线?一产=1的焦距为2答案：25!

5、白研I题I型-典例精析d学用结合通技法-题型一双曲线标准方程的认识【例1】若双曲线方程若+R=1则?的取值范围为()A.(0,1)B.(1,+)C.(一8,0)D.(一8,0)U(1,+)解析:+不W=I表示双曲线方程，则?(1一1或加0.故选D.答案DI通性通法I双曲线方程的辨识方法v22v22将曲线方程化为标准方程的形式，假如曲线的方程为5+5=1,则当1+=1表示v2hnX)t双曲线时，/77O:当?VO时，方程一十=1表示双曲线.若则方程表示焦点在mn50,fM0则方程表示焦点在)，轴上的双曲线.Z跟踪训练已知双曲线三三+=1,焦点在y轴上，若焦距为4,则4=()3-27A.C51-2

6、B.D.解析：D根据题意可知，双曲线的标准方程为1-1=1由其焦距为4,得c=2,2a3a则有c2=2-a+3=4,解得a=；.题型二求双曲线的标准方程【例2】(言接教科书第146页例1)根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a=4且经过点A(1,一4页)；(2)与双曲线金一)=1有公共焦点，且过点(3啦，2)；(3)双曲线过两点P(3,竽)，e(-y,5),且焦点在坐标轴上.解(1)当焦点在X轴上时，设所求标准方程为旨一E=1SO),把点A的坐标代入，得z2=-y0),把点A的坐标代入，得拄=9.故所求双曲线的标准方程为若一看=1.(2)设双曲线的标准方程为高r-系=1(-4416).将点

7、(3加，2)代入，解得2=4或2=14(舍去),双曲线的标准方程为寻设所求双曲线方程为Ar2+8y2=1(A80,b0).由题知。=2,2232/.a2+b2=4.又Y点Q,3)在双曲线上，7一户=1由解得。2=1,加=3,.所求双曲线的标准方程为r一号=1.2 .已知双曲线过点巧(-2,鸣和P2呼，4),则双曲线的标准方程为()解析:B因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为/2+y2=1(m”0).因为p（-2,鸣,P2呼,4）两点在双曲线上，所以，F-n16w=1,是所求双曲线的标准方程为看W=I.故选B.题型三双曲线定义的应用【例3】如图，若尸2是双曲线，一六=1的两个焦点.(

8、1)若双曲线上一点尸到它的一个焦点的距离等于16,求点P到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且IPQ1IPBI=32,试求的面积.解双曲线的标准方程为田一寻=1,故=3,b=4,c=yja2+b2=5.由双曲线的定义得IIP川一PF21=2=6,又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16,假设点尸到另一个焦点的距离等于居则16-=6,解得X=Io或x=22.故点尸到另一个焦点的距离为10或22.将IIPF2TPBiI=2=6,两边平方得IPH12+|P&F2P6*|P&I=36,PFi2+PF22=36+2PFiPF2=36+232=100.在aRPF2中，由余弦定理得/3PF

9、1p+PF22-FF2pCOSPF?-2PFiIPF2I100-100=2PQ乃|=0：.NHPF2=90。,SF1PF2=PF11PF1=32=6.圆母题探究1 .（变条件，变设问）若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点Q的距离为10.求点P到22的距离.解：由双曲线的标准方程看一舟1,得=3,b=4,c=5.由双曲线定义得I1PaI-IPBII=24=6,.10-PF2=6,解得PBI=4或PF2I=I62 .（变条件）若本例条件PFIPF2I=32改成iiPF：PF2=2：5”其它条件不变,求AQPB的面积.解：由IPR1：PBI=2：5,IPB1|PR1=6,可知IPBI=I

10、0,IPpII=4,.APPB是底边长为4,腰长为10的等腰三角形.5FPF2=446=86.3.(变条件)本例双曲线方程不变，若双曲线上存在一点P使得NHPB=60。，求的面积.2y,2解：由5诃=1得=3，b=4,c=5.由定义和余弦定理得IP尸IITPF2=6,FiF22=PFi2+PF22-2PFPF2cos600,所以1O2=(PF1-PF2)2+PF1pf2,所以IPQIPF2=64,则SFiPF2=PFP2sinZFPF2=64=163.I通性通法I在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件IIPQ1IP尸21=24的应用：与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理

11、等.另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用.题型四双曲线的实际应用例4(捱接教科书第144页情境与问题)A,B,C是我方三个炮兵阵地，A在8正东6km,C在8北偏西30。，相距4km,P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于5,C两地比A距P地远.因此4s后，B,C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为Ikms,4若炮击P地，求炮击的方向角.解如图，以直线RA为X轴，线段B4的垂直平分线为)，轴建立平面直角坐标系，则8(3,O),A(3,0),C(-5,23).因为P8=PC,_-BA所以点P在线段8。的垂直平分线上.设敌炮阵地的坐标为P(%,y),BCI1的中点为O.

12、因为心c=-5,D(-4,3),所以直线尸。的方程为)，一5=也。+4).又|P3|-1=4,所以尸在以A,B为焦点的双曲线的右支上，且方程为方一方=Ia22).联立，得X=8,y=55,所以P的坐标为(8,53).因此=y3.O3故炮击的方向角为北偏东30。.I通性通法I双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.b跟踪训练某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处（如图），IAPI=IOOm,BP=150m,ZAPB=60,试说明怎样运土才能最省工.解：如图，以48所在的直线为X轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则IMA1+1AP1=IMB1+8P,即IMA1-MB=BP-AP=150-1OO=50(m),这说明分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支，且4二25.在AAPB中，IABp=AP2+BP2-2APPcos60=17500,=4375,6=3750,故所求分界线的方程为注一缶=Ia225).即在运土