2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 1-2-1 空间中的点、直线与空间向量 学案.docx

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1、1.2空间向量在立体几何中的应用1. 2.1空间中的点、直线与空间向量新课程标准解读核心素养1.理解直线的方向向量，并能利用方向向量判定直线的位置关系数学抽象、直观想象2.能用向量方法解决直线与直线所成角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用数学运算在读I教I材知识梳理6以本为本抓双基情境导入一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行.在比赛过程中，裁判员除了说一些必要的语言外，他们更多的借助专用的手势来把控整场比赛.比如，直接任意球要求裁判单臂侧平举，明确批示踢球方向；间接任意球要求裁判单臂上举，掌心向前，此手势应持续到球踢出后，并被场上其他队员触及或成死球时为止.这一规定有着明确的方

2、向性和细节要求，必须进行专业培训才能掌握.在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行.直接任意球手势间接任意球手势I问题I(1)一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？(2)怎样用向量来表示直线在空间中的位置？(3)怎样用向量来表示平面在空间中的位置?町新知初探知识点一空间中的点与直线的向量表示1 .点的位置向量一般地，如果在空间中指定一点0,那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯确定，此时，/通常称为点P的位置向量.特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定.2 .直线的方向向量一般地，如

3、果/是空间中的一条直线，V是空间中的一个非零向量，且表示V的有向线段所在的直线与/平行或重合，则称V为直线/的一个方向向量.此时，也称向量V与直线/平行，记作V/.3 .利用直线的方向向量证明相关平行(1)设直线自和12的方向向量分别为VI和V2,则由向量共线的条件,得/1/2或/1与，2重合OVIV2；(2)已知两个不共线向量v,V2与平面共面，一条直线/的一个方向向量为V,则由共面向量定理，可得/CC或/Uao存在一对实数,yt使V=V+)S.口想一想同一条直线的方向向量相等吗？提示：不相等.方向不一定相同，模也不一定相等.知识点二空间中两条直线所成的角设V”V2分别是空间中直线八，/2的

4、方向向量，且与，2所成角的大小为仇如图所示，,yj；O=I；、J2V,V22-VV2=O.知识点三异面直线与空间向量(1)设v,V2分别是空间中直线与/2的方向向量.若人与/2异面，则V1与V2的关系为V1与V2不平行；若V1与V2不平行，则人与/2的位置关系为祖交蝇面；若异面直线与/2所成的角为仇贝IJe=或五一VI，v2;(2)公垂线段：一般地，如果与/2是空间中两条异面直线，MG/,NG12,MNAJ1，MN112.则称MN为与/2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离.给想一想两异面直线所成的角与两直线的方向向量的夹角一定相等吗？提示：不一定相等，若两异面

5、直线的方向向量夹角S，v2)(,同时等于异面直线所成角，若e(S,兀)时，则异面直线所成角为冗一(VV2.侈做一做1 .已知一直线经过点A(2,3,2),(-1,0,5),下列向量中不是该直线的方向向量的为()A.a=(1,1,1)B.a=(-1,-1,1)C.a=(-3,-3,3)D.a=(1,1,-1)解析：A由题知，AB=(-3,一3,3),则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量.A选项中的向量(1,1,1)与瓦耳不共线，所以不是直线48的方向向量.故选A.2.若直线,/2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则与/2的位置关系是()A./山2B.t2C./1，

6、/2相交不垂直D.不能确定解析：A由题意，直线/,/2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),ab=-2+64=0,K与/2的位置关系是.故选A.3.在正方体A8CQ-48GQ中，直线AB与直线4。所成的角为,直线A8与直线CD1所成的角为.答案：9045Sr研I题I型典例精析A-学用结合通技法题型一空间中点的位置确定【例1】已知O是坐标原点，A,B,。三点的坐标分别为A(3,4,O),BQ,5,5),C(0,3,5).(1)若万了万一次)，求P点的坐标；(2)若P是线段48上的一点，且AP：PB=I：2,求P点的坐标.解(1)7=(T,1,5),AC=(3t-1,5),B

7、=A谪-k)=*2,2,0)=(1,1,0),尸点的坐标为(1,1,0).(2)由尸是线段AB上的一点，AAP：PB=：2,1知AP=2PB.设点P的坐标为(x,y,z),则AP=(-3,y4,z),PB=(2xf5y,5z),故(x3,y-4tz)=*2-x,5y,5z),r8-3=2(2-x),x=j,13艮叫y-4=2(5-y),得Wy=y,1“、5z=z(5z),z=.K.Z因此P点的坐标为(*号，9).I通性通法I求空间点的坐标此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，常用方法一是把向量式转化为以原点为起点的位置向量求解；二是设出所求点的坐标，转化为方程组求解.团跟踪训练已知点A(

8、2,4,0),B(1,3,3),如图，以A8*的方向为正方向,在直线AB上建立一条数轴，P为线段A8上的点，Q点在AB延长线上，且分别满足条件：(I)AP：PB=I:2；(2)AQ：QB=2：1.求点P和点Q的坐标.解：(1)由已知，得PB=2AP,住-3)IT4,(2,2?C-1一32-3一吁因此，P点的坐标是g，y,I)(2)因为。点在AB延长线上且AQ:QB=2：1,所以加=-2碇，0Q-0A=-20B-0Q),0Q=-0A20B=-(2,4,0)2(1,3,3)=(0,2,6),因此，。点的坐标是(0,2,6).题型二利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)【例2】(链接教科书第33页例

9、3)如图，点、M,N分别是正方体ABCD-A,B,C,D,的棱86和BC的中点，求:(I)MN和C。所成角的大小；(2)MN和AO所成角的大小.解设正方体棱长为1,分别以力r,DCfDD为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz(图略),1,Vt则C(0,1,0),D,(0,0,1),A(1,0,0),卷I，),。(。，o0)：.c。J(0,1.1),1)-(1,(),0),1(I)Vcos(MNtCD_丽B_5_1丽H利22/.Cmn,co7)=60,即MN和c。所成角为60。._/一一MN-AD22(2).cos(MN,AD)rzr?-Z),丽而I当Xi.Cmn,AD)=45,即MN与AO所

10、成角为45。.I通性通法I求异面直线所成的角的方法(1)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单；(2)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是a,b小技巧.在由公式CoSa,b求向量a,b的夹角时，关键是求出ab及Ia1与b,ab一般是把a.b用基底表示出来，再求有关的量.跟踪训练B1如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=2,CC=1,则直线ADi和8。夹角的余弦值为()ATB,坐C.解析：D如图，以。为原点，分别以。A,DC,DA所在的直Ao1B1DDdB线为x

11、,y,Z轴建立空间直角坐标系，则以0,0,0),4(2,0,0),D1(0,0,1),B(2,2,1),所以丽=(一2,0,1),瓦万=(-2,-2,-1),所以CoS(dT,瓦方=41故选D.=,5q41+1=号所以直线Ad和BN夹角的余弦值为号,2.已知异面直线用，的方向向量分别为a=(2,1,1),b=(1,A,),若异面直线所成角的余弦值为吟，则2的值为.abD-；+ii解析：由WaI=丽=7=*两边平方，化简得以答案：(题型三利用空间向量处理平行与垂直问题【例3】(链接教科书第31页例1、第33页例2、第36页例4)如图所示，正方体ABC。-A山G0的棱长为1,E,F,G,G1分别是

12、棱CG，BC,CD,A11的中点.求证：(I)ADiIGiG;(2)ADEF;(3)A1GDF.证明设AB=a,AD=b,A=C,则Ia1=Ib1=IC1=I且ab=bc=ac=O.因为/)：=b+c,Gd=G*AAD+d5=a-cba=b-c,所以AD；GG=(bc)(b-c)=b2-C2=O,所以而J_G3,所以ADG1G(2)因为而=b+c,EF=CF-CE=C-CC=-b-c,所以京=3AD1,所以7AD.(3)因为不五=无不+而+D1=-c+b+ga,OF=DC+CF=a-,所以ADb=(c+b+；a)(a-;b)=；a?gb2=。，所以Z卷J_D声，所以AG1OF.I通性通法I1

13、.要证两直线垂直，由数量积的性质a_1bBab=0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.2 .要证两直线平行，可求出两直线的方向向量，只要证明这两个向量满足a=ib即可.必跟踪训练在棱长为1的正方体ABCQ-A8GD中，E为CG的中点，P,。是正方体表面上相异两点，满足BR1A1E,8QJ_AIE若尸，Q均在平面4场Gd内，则PQ与8。的位置关系是，AP1的最小值为.n1,1),解析：以。为原点，DA为彳轴，。为)，轴，OD1为Z轴，建立空间直角坐标系，则4(1,0,1),电，1，伙1，1,0),：P,Q均在平面AIB1GG内，设P(,bt1),Q(mt，1)

14、,其中(;一+(-b)20,则雇=(一1,1,-BP=(atbt1),BQ=(mtVBP1AiEfBQ1AE.BPAE=(a1)(/?1)1=0,BQME=-(w-1)(-1)-=0,ba=,，可得用一。=一。n-m=y：PQ=(m-a,nb,O),DB=(1,1,0),令m-a=-b=,则迈=/1市.,PQBD,即PQ与B。的位置关系是平行.IA1P1=(a1)2+b2=y(a1)2+2)=22+=zJ2-)+,当a=；,即*1)时，14P1的最小值为乎.答案：平行乎因随堂检测1 .若A(1,0,1),BQ,3,4)在直线/上，则直线/的一个方向向量是(A.(-1,3,3)B.(1,3,3)C.(3,3,5