2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-7-1 抛物线的标准方程 学案.docx

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1、2.7抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程新课程标准解读核心素养1了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用数学抽象2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程直观想象及读I教I材知识梳理吁以本为本抓双基购情境导入如图，在黑板上画一条直线E尸，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在。点，将三角板的另一条直角边贴在直线E尸上，在拉链。处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.问题(1)这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？(2)抛物线的定义中，/能经过点尸吗？为什么？啦新知初探知识点一抛物线的定义

2、设尸是平面内的一个定点，/是不过点尸的一条定直线，则平面上到尸的距离与到/的距离粗笠的点的轨迹称为抛物线，其中定点尸称为抛物线的焦点，定直线/称为抛物线的准线.给想一想在抛物线定义中，若去掉条件/不经过点尸，点的轨迹还是抛物线吗？提示：当尸/时，点的轨迹是一条直线.知识点二抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程代y2=2x(0)(2)M一yrs(二Q)Z-x2=2m0)(-S宗.v2=-2m30)7占一百四个标准方程的区分焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向：当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.侈做一做1 .抛物线y=

3、8x2的准线方程是()A.y=2B.x=-1cy=-32d=解析：C由产底可得所以2p=/可得=所以抛物线y=8x2的准线方程是)=一圭.故选C.2 .抛物线V=16x上点P的横坐标为4,则P到抛物线焦点F的距离IPF1=()A.12B.10C.8D.6解析：C因为2p=16,所以=8,所以IPF1=4+g=4+4=8.故选C.3.焦点为F(-1,0)的抛物线的标准方程为.解析：由题意，设抛物线的标准方程为尸=一2外，则一=一1,可得p=2.因此，抛物线的标准方程为y2=-4x.答案：y2=-4xRA研I题I型-典例精析学用结合通技法题型一抛物线的标准方程【例1】(琏接教科书笫160页例1)求

4、适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(-6,6)；焦点F在直线Z：3-2y-6=0上.解(1)由于点M(6,6)在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左，焦点在X轴上，设其方程为9=-2PMP0),将点M(6,6)代入，可得36=-2pX(6),.p=3.抛物线的方程为y2=6x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为f=2p),(p0),将点M(6,6)代入，可得36=2pX6,.p=3,，抛物线的方程为x2=6y.综上所述，抛物线的标准方程为V=-6X或f=6y.(2),直线/与X轴的交点为(2,0),.抛物线的焦点是尸(2,0),/.f=2,p=4,：抛物

5、线的标准方程是V=8x.:直线/与y轴的交点为(0,-3),即抛物线的焦点是尸(0,-3),.今=3,.p=6,，抛物线的标准方程是f=-12y.综上所述，所求抛物线的标准方程是yz=8x或x2=-12y.I通性通法I求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求P，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注意当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2=或X2=0y（=（）的形式，以简化讨论过程.跟踪训练1 .若某抛物线过点（一1,3）,且关于X轴对称，则该抛物线的标准方程为（）A.y2=9X

6、B.x2=yC.y2=-9K或2=&D.y2=9x解析：A依题意设抛物线解析式为j2=-2px,把（T,3）代入得9=2p,解得P=当所以抛物线标准方程为V=-9不，故选A.2.已知抛物线，=%,其准线方程为（）A.X=IB.X=TC.y=D.y=解析：D因为抛物线y=x2,故其标准方程为2=2j,则其准线方程为），=一去故选D.3.若抛物线y2=2pNpWO）的焦点与椭圆3+5=1的右焦点重合，则实数P=.解析：因为椭圆+,=I,所以/=6,b2=2t所以/=/一从=4,故c=2,所以右焦点为（2,0）,所以今=2,p=4.答案：4题型二抛物线定义的应用【例2】（I）设抛物线Cy2=4x的焦

7、点为凡M为抛物线C上一点，M2,2）,则IMA+1MM的最小值为（）A.3B.2C.1D.4（2）（2023.北京高考）已知抛物线C：y2=4x,焦点为产，点M为抛物线C上的点，且IFM1=6,则M的横坐标是；作MN_1x轴于M贝IJS.MN=.解析(1)因为抛物线CV=M的焦点为尸(1,0),准线为X=-1,根据抛物线定义可知IMF1=M+1,所以当MN垂直抛物线准线时，IMF1+1MN1最小，最小值为：孙+1=3.故选A.(2)因为抛物线的方程为V=4x,故=2且尸(1,0).因为IMFI=6,坳+=6,解得物=5,故加=2小，所以Skmn=X(5-1)X2小=4小.答案(I)A(2)54

8、5I通性通法I抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.团跟踪训练1 .已知在平面直角坐标系中有一定点尸(1,0),动点P(x,y)(x20)到y轴的距离为d,且IPF1d=1,则动点P的轨迹方程为()A.y2=xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=2x解析：BY动点Pa,y)(x20)到y轴的距离为d,且P-d=1,动点尸到定点户

9、(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，并且其焦点为尸(1,0),准线为x=-1,所以其抛物线的方程为V=4故选B.2.设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F,P为抛物线上一点，若IPF1=3,则4OPF的面积为.解析：由题可得F(1,0),设P(X0,和)，则由抛物线定义可得IPF1=MrH=3,解得项=2,代入抛物线方程可得MI=2啦，所以SMP-=：XIOF1XI阳=：XIX25=答案：2题型三抛物线的实际应用【例3】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m,一小船宽4m,富2m,载货后船露出水面上的部分高0.75m,问

10、：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为X轴，建立平面直角坐标系Q(图略).设抛物线方程为f=-2py(pX),由题意可知，点8(4,5)在抛物线上，故p=,得=一3当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为A4,则A(2,训),由2?=一多，a,得=一土.又知船面露出水面上的部分高为0.75m,所以力=IyA1+075=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小朋开始不能通航.I通性通法I求抛物线实际应用问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系：(2)设出合适的抛物线标准方程；(3)通过计算求出抛物线的

11、标准方程：(4)求出需要求出的量：(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题.Z跟踪训练如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋一头焊接在镜口圆边沿，另一头焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米.解：如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，X轴垂直于镜口直径.由已知，得A点坐标是(2,6),设抛物线方程为y2=2pMp0),则36=2pX2,p=9.所以所求抛物线的

12、标准方程是y2=18x,焦点坐标是啰，0).因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A,尸两点间的距离即为每根铁筋长.IAQ=+62=6.5,故每根铁筋的长度是6.5米.拓I视I野思维进阶6-探究关联开眼界圆锥曲线的共性探究(接接教科书第143页习题C1题、第157页习题C2题)设动点M到定点F(c,0)的距离与它到直线/：x=/的距离之比为城(1)当。c0时，求点M的轨迹方程；(2)当c0时，求点M的轨迹方程.(接接敬科书第158页)抛物线的定义.圆问题探究由上述教科书中两道典型习题结合链接教科书抛物线的定义可知,三种曲线都是动点M到定点尸的距离和它到定直线/的距离之比是一个常数，当这个常数大于0

13、且小于1时，动点轨迹为椭圆；当常数等于1时为抛物线；当常数大于1时为双曲线.结论：动点M到定点尸的距离与到定直线/的距离之比为一个常数，即繇=&(1)当OVeV1时，动点M的轨迹是椭圆；(2)当e=1时，动点M的轨迹是抛物线：(3)当e1时，动点M的轨迹是双曲线.此时定点尸为圆锥曲线的一个焦点，定直线/叫作圆锥曲线对应该焦点F的一条准线X=常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义).已迁移应用已知椭圆书+3=1与双曲线/一/=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于一点J求，的值：（2）若双曲线上一点Q到左焦点的距离为3,求它到双曲线右准线的距离.解：（1）由双曲线

14、方程可知，焦点在X轴上，椭圆和双曲线有相同的焦点，可得10m=1+，由（1）知，双曲线f一十=1,所以。=1,b=25,c=3,所以左焦点尸（一3,0）,左次1次1准线X1=-,右准线V=）,双曲线右支上一点到左焦点最小距离+c=43,所以点。在双曲线的左支上，设点。到左准线的距离为4,由双曲线第二定义，e=335=5?所以4=1，所以点。到右准线的距离d2=d+x2-Xi=T回随堂检测1 .若抛物线y2=16x上的点M到焦点的距离为12,则它到y轴的距离是（）A.6B.8C.9D.10解析：B抛物线V=I6x的焦点尸（4,0）,准线为工=-4,由M到焦点的距离为12,可知M到准线的距离也为12,故点M到），轴的距离是8.故选B.2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在X轴上，且抛物线上一点（一2,M）到焦点距离为4,那么抛物线的方程是（）A.y2=8xB.）2=8xC.y2=4xD.y2=4x解析：B因为抛物线的顶点在原点，焦点在X轴上，且点（一2,6）在抛物线上，所以设抛物线方程为y2=-2pMp0),因为点(一2,M到焦点距离为4,所以名一(一2)=4,解得P=4,所以抛物线方程为y2=-8x,故选B.3.已知点P是抛物线y2=-4X上的一个动点，则点尸到点M(0,