2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 1-2-5 空间中的距离 学案.docx

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1、1.2.5空间中的距离新课程标准解读核心素养1.了解空间中的五类距离直观想象2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题数学运算+读I教I材知识梳理6以本为本抓双基购情境导入在生活中可以看到很多道路上都有限高杆.主要的作用就是为了防止过高的车辆通过,以保障车辆和路上设施的安全.比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞,或者附近有高速路桥、铁路桥等.图中所示，限高3.1米.问题(1)同学们，你知道3.1m指的是哪段距离吗？(2)数学中的距离是如何定义的呢？町新知初探知识点空间距离及向量求法1 .空间中两点之间的距离空间中两点之间的距离指的是这两个点连

2、线的线段长.2 .点到直线的距离给定空间中一条直线/及/外一点A,因为/与A能确定二个平面,所以过A可以作直线)的一条垂线段,垂线度也氐称为点A到直线/的距离.3 .点到平面的距离(1)给定空间中一个平面。及。外一点A,过A可以作平面Q的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面。的距离;(2)一般地，若A是平面。外一点，8是平面a内一点，n是平面的一个法向量，则BAn点A到平面的距离为d=-.114 .相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线/与平面平行，n是平面的一个法向量，A,B分别是

3、/上利内的点,BAn则直线I与平面之间的距离为d=-；n(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.如果平面与平面平行，n是平面的一个法向量，A和8分别是平面和平面内ba1*的点,则平面和平面S之间的距离为d=:口想一想1 .在空间中怎样求两点之间的距离？提示：利用向量法转化为求向量的模.2 .线面距、面面距与点面距有什么关系？提示：直线与它的平行平面的距离点到平面的距离两个平行平面的距离一两点之间的距离一用做一做1 .设A(3,3,1),8(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点。的距离ICM等于()A.季B.yC隼D.华解析：CT

4、M点坐标为(2,33-2,.,.MC=y(2-0)2+(-)+(3-0)2 .已知点A(1,1,1),B(0,1,O),C(-1,O,1),则点A到直线BC的距离是()A.1B.2C.3D.2解析：B由已知得谒二(一1,0,-1),BC=(i-1,1),所以海BC=1(-1)+0(-1)+(-1)1=0,所以ABJ_BC,所以点A到直线BC的距离是IAB1=、(-1)2+0+(-1)2=啦故选b3.已知平面的一个法向量n=(1,0,1),点A(-1,I,0)在内，则平面外点?(一1,1,1)到平面Q的距离为.PnI5解析：AP=(0,0,1),H-(1*0,1),dTrO-n22答案：乎在研I

5、题I型,典例精析,学用结合通技法题型一空间中两点之间的距离【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，布上底面A8CZADDC,ABDC,AD=DC=AP=I,AB=I,点E为棱PC的中点.(1)证明：BE1PD；(2)若尸为棱PC上一点，满足8F1AC,求线段尸尸的长.解(1)证明：B4_1底面48CO,AD1ABt以A为原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为)，轴，AP所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系，由题意B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),0(0,2,0),BE=(O,1,1),W=(0,2,-2),：,BEPD=Ot：.BEPD.(2)Vk=(1,2

6、,0),CP=(2t-2,2),/=(2,2,0),由点尸在棱PC上，设丁=aK=(-2,-2,24)，0W4W1,BF=BC+CF=(1-2,22t24),3：BFYAC,：.BF=2(1-22)+2(2-2)=0,解得4=,|了百=(Dr初=4+4+4=坐,即线段尸尸的长为坐.I通性通法I计算两点间的距离的两种方法(1)利用aF=aa,通过向量运算求同，如求4,4两点间的距离，一般用IABi=M人产=BAB求解；(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系.Z跟踪训练已知正方体ABCD-ABiCD的棱长为1,点A关于直线A1C,BD1的对称点分别为

7、P,Q,则P,Q两点间的距离是()A空Ba3d2r32逑解析：A以直线D4,DCi分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),D(0,0,1).在平面A1AC上，点4关于直线A1C的对称点P的坐标为(；，|,D；在平面ABDi上，点A关于直线的对称点Q的坐标为生故IPQI=毕.题型二点到直线的距离【例2】已知直三棱柱48GA1BIG中，AA=1,AB=4,BC=3,NABC=90。，求点B到直线AG的距离.解以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(4,0,1),C(0,3,1),所以祝;=(一4,3,0).设E满足

8、豆豆=1犹;，且BE11A1CI,则冠=前+屣=(4,0,1)+(-4,3,0)=(4-4A,3儿，1),又斌_1亮，(4-4,34,1)(-4,3,0)=0,/.=./.BE(4-425,3x25,0,屈T(S)+圜+r=s138到直线直C的距离为学鼠母题探究1 .(变设问)条件不变，试求点8到AG的距离.解：AcT=(-4,3,1),设M满足刀Z=4宿且WAG=O,则须才=万T+欣=(4,O,0)+4(-4,3,1)=(442,3儿).又询宿=0,(4-42,34,A).(-4,3,1)=0, ,/二G一*,*,)=(,)* 同=w而闱=嚼 .8到4G的距离为喑52.(变条件)若将本例中的

9、条件改为“正三棱柱4BCABG且所有棱长均为2，如何求B到A1G的距离？解：以8为原点，分别以BA所在直线，过B垂直于BA的直线，B8所在直线为1,y,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则8(0,O,O),A(2,0,2),C(1,3,2),历7=(2,0,2),所以4G的方向向量祝;=(1,3,0),而瓦T=(1,3,2),设E满足不苣=2再4且BE1AiG,BE=M+AE=(2,0,2)+A(-1,3,0)=(2z,3A,2),又斌_1刘，(2-z,3A,2)(-1,3,0)=0,-2+32=0,=,=,坐，2).beI=M1y+管f+22=#,到AQ的距离为由.I通性通法I求点M到直线A

10、B的距离的方法与步骤(1)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线A8上取一点瓦点E满足两个条件：AE=人AB;ME_1A&(2)利用(1)中的两个等量关系求出2的值，进而求出点E的坐标，求出向量宿I的模即为M点到AB的距离.田跟踪训练在空间直角坐标系中有长方体48Cz)-A闰GO】，A8=1,BC=2,AAI=3,则点8到直线AC的距离为()A逅人14r运J7R2SB-7D.1解析：B如图建立空间直角坐标系，过点B作1AG垂足为E,设点E的坐标为(1,ytz)9则A(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),则AC=(1,2,3),AiE=(xtytz-3)tBF=(X1,y,z).因为“MEiBEAC=O,Xj,Z-3所以解得CC1VCD=1,BC=2.：BD=邓,AD=25,A8=5,F(O,0,1),D(0,O,O),A(25,O,O),B(0,5,0),设平面OCF的法向量为n=,y,z),一春/)Me-板D21F-F+z=O,-+=0令X=1,j=2,z=O.n=(12,0).IBFnd=2.8到平面Ob的距离等于2,即为直线BE到平面OC尸的距离.nI通性通法I线面距离与面面距离的求解思路(1)求相互平行的直线与平面间