2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-3-4 圆与圆的位置关系 学案.docx

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1、2.3.4圆与圆的位置关系新课程标准解读核心素养1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系直观想象2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想数学运算金读I教I材知识梳理以本为本抓双基防情境导入如图为1973年12月24日在哥斯达黎加拍到的日环食全过程.可以用两个圆来表示变化过程.oQoO+r2d=ri+rIn一闻VdV门+-24=|门一屋1力一闻(2)代数法：设两圆的般方程为Ci：2+y2+Dx+E+F=0(Df-4F0),C2:+r+E2y+72=0(D2+-4F20),联立方程得2+y2+x+Ey+F=0,X2+y2+Dix+正2=0，则方程组解的个数与两圆

2、的位置关系如下:方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含口想一想1 .当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？提示：公切线的条数分别是4,3,2,1,0.2 .当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线.自做一做1 .圆/+2）2+y2=4与圆a-2+1）2=9的位置关系为（）A.内切B.相交C.外切D.相离解析：B两圆的圆心分别为（一2,0）,（2,1）,半径分别为r=2,R=3,两圆的圆心距

3、离为、（一22）2+（O-I）2=行,则R-z万R+r,所以两圆相交，故选B.2 .两圆（一42+0，一份2=，和（一份2+（）,一。）2=,相切，则（A.（ab）2=c2B.36）2=2/C.3+b)2=c2D.(+b)2=2c2解析：BY两圆的半径相等，两圆必相外切.W()2+(b-a)2=2c,即(-b)2=2c2.故选B.3 .已知两圆f+)2=10和1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点，则直线A8的方程是解析：圆的方程(xiy+(y-3)2=20可化为x2+y2-2v-6y=10.又x2+y2=10,两式相减得2v6y=0,即x3j=0.答案：x3y=0研I题I型典例精析6学用

4、结合通技法题型一圆与圆位置关系的判断【例1(修接教科书第119页例1)已知两圆Ci：2+y2+4x+4y-2=0,C2:x2+y2-2v-8y-8=0,判断圆G与圆C2的位置关系.解法一(几何法)：把圆G的方程化为标准方程，得(x+2)2+(y+2)2=10.圆G的圆心坐标为(-2,-2),半径长八=也.把圆C2的方程化为标准方程，得(“一1)2+34)2=25.圆C2的圆心坐标为(1,4),半径长f-2=5.圆G和圆C2的圆心距d=(-2-1)2(-2-4)2=35,又圆G与圆C2的两半径之和是为+r2=5+*T,两半径之差是2-r=5-*1b.而5T3小5+，15,即2-rt2=1,代入x

5、+2y+1=0得X1=-3,X2=1所以圆G与圆。2有两个不同的公共点(-3,1),(1,1),即两圆的位置关系是相交.I通性通法I判断两圆位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.Z跟踪训练1 .已知圆G：(-)2+0，-b)2=4(,b为常数)与C2：x2+y22x=0.若圆心G与C?关于直线-y=O对称，则圆G与C2的位置关系为()A.内含B.相交C.相切D.相离解析：B依题意C2(1,0)

6、,所以C1(0,1),r=2,r2=1门+。=3,r,-2=h又知ICIC2=1乔=啦W(1,3),所以两圆相交.故选B.2 .以A(3,4)为圆心，以r为半径的圆A与圆8：f+y2=64内含，则一的取值范围为.解析：圆x2+y2=64的圆心为8(0,0),半径，=8,所以圆心距d=木耳不=5,因为两圆内含r-d,所以Ir-8|5,所以r13或(Xr2,所以两圆相交.两圆对应的方程相减即可得两圆公共弦所在直线的方程为2r2小)，-3二0.已知圆。|的圆心(1,0)到公共弦的距离为d=吆所以两圆的公共弦长为4+124Ff=好嘤答案：Zv-23y-3=0平I通性通法I1 .两圆相交时，公共弦所在的

7、直线方程若圆G:x2+y2+f)ix+Ey+F=O与圆Cz,.x2+y2+D2+E2y+F2=O相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(Z)1D)x+(E1-E2)j+Fi-F2=O.2 .公共弦长的求法3 1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；4 2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪训练1 .若圆O：x2+=4,与圆C：f+y2+2y6=0相交于A,B两点，则公共弦AB的长为.解析：由题意AB所在的直线方程为(f+y2+2y-6)(f+j2-4)=0,即y=1,因为圆心。到直线y=1的距离为

8、I,所以AB=2?=F=25.答案：232 .已知圆C2+=1,过点尸向圆C引两条切线,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线A8的方程为.解析：由题意，圆Cx2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),则以C(0,0)和尸(2,1)为直径的圆的圆心为(1,称,半径为=木尸=坐.可得以Cp为直径的圆的方程为(x1)2+(y025=本即f+V-2r-y=0,两圆的方程相减可得2x+y1=0,即直线AB的方程为2x+y-1=0.答案：2x+yT=0题型三两圆相切问题【例3】求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+=0相切于点M(3,一仍)的圆的方程.解设所求圆的方程为(X4)2+08)2

9、=/(r0),由题知所求圆与圆f+22x=0外切，则(aI)22=r1.又所求圆过点M的切线为直线4+4y=0,故若=小，解由组成的方程组得=4,b=0,r=2或=0,=43,r=6.故所求圆的方程为(x4+y2=4或X2+，+4小)2=36.圆母题探究1 .(变条件)将本例变为“求与圆+2一级=0外切，圆心在X轴上，且过点(3,-3)的圆的方程”.解：因为圆心在X轴上，所以可设圆心坐标为(。，0),半径为r,则所求圆的方程为(x0)2+y2=7,又因为与圆x2+y2-2x=0外切，且过点(3,3),fCa-)2+O2=r+1,所以V，一I(3a)2(一小)2=r2,=4,解得C卜=2,所以圆

10、的方程为。-4+y2=4.2 .(变条件、变设问)将本例改为“若圆x2y2-2x=0与圆x2+y2-8x8y+m=0相外切，试求实数小的值.解：圆+y22x=0的圆心为A(1,0),半径为r=1,圆f+y?8x8y+zz=0的圆心为8(4,4),半径为n=327.因为两圆相外切,所以4(4-1)2+(40)2=1+、32一m,解得M=16.I通性通法I处理两圆相切问题的两个步骤3 1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论：4 2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).跟踪训练

11、1 .圆G：-2)2+(y+2)2=户(r0)与圆。2：+1)2+(y-2)2=4,若圆G与圆C2有且仅有一个公共点，则实数，=()A.7B.3C.3或7D.不确定解析：C由题意G(2,-2),c2(-1,2),则ICC2=？42=5,因为圆G与圆C2有且仅有一个公共点，故圆G与圆。2相内切或外切，故|r2|=5或r+2=5,从而r=7或r=3,故选C.2 .圆2+4x+j2=0与圆(工一2)2+()，-3)2=,有三条公切线，则半径=()A.5B.4C.3D.2解析：C两圆的圆心分别为(-2,0),(2,3),半径分别为2,八由于两圆有三条公切线，两圆相外切，/.(-2-2)2+(0-3)2

12、=2+r,即5=2+r,，r=3.回随堂检测1 .两圆2+(y-2)2=1和(x+2)2+(y+I)2=16的位置关系是()A.相离B.相交C.内切D.外切解析：B两圆圆心分别为(0,2)和(一2,-1),半径分别为1和4,圆心距d=吊=VT5,-2irr2b故两圆相交.2 .圆X2+。-1)2=1与圆(-1)2+j2=1的公切线的条数是()A.0B.1C.2D.3解析：C圆2+(y-1)2=1的圆心为(0,1),半径r=1,圆(1D?+产=1的圆心为(1,0),半径，2=1,则两圆心的距离为r-r2=0d=y2r+2=2,则两圆相交，公切线条数为2.故选C.3.圆f+y21=0与圆x2+j2-4x=0的公共弦所在直线的方程为()A.4-1=0B.4y-1=0C.x+y1=0D.%y1=0解析：A两圆方程相减消去二次项得4x1=0,此即为两圆公共弦所在直线方程.4.(多选)已知圆A、圆B相切，圆心距为IOCm,其中圆A的半径为4cm,则圆8的半径可能是()A.6cmB.10cmC.14cmD.16cm解析：AC因为圆A与圆8相切包括内切与外切，设圆B的半径为rcm,所以10=4+r或10=r4,即=6或r=14.故选A、C.5.圆+r=8与圆x2+4x-16=