《线性代数》 试卷及答案 第三套模拟题.docx

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1、第三套模拟题一、填空题(将正确的答案填在横线上)(每小题3分，总计15分)1 .点A(3,-3,7)到平面4x+4y+2z-5=0的距离为.rI00、2 .设A=220，A”是A的伴随矩阵,则(A)-=.Q45,3 .设A是4阶方阵,且M=4,R(A)=I,则R(A-EI)=.4 .己知4阶方阵4=(。,%,%，%)，其中%，。3，。4线性无关，=2。2-。3-如果尸=%+%+二4,则线性方程组Ax=的通解是.5 .设A为阶方阵且Ar=0有非零解,则A必有一个特征值为.二、单项选择题(将正确的选项填在括号内)(每小题3分，总计15分)1.设A5,C均为阶方阵，E为阶单位矩阵,若3=E+A3,C

2、=4+C4,则B-C为().(A)E；(B)-Ei(C)A；(D)-A.2 .设a1,%，。$均为维列向量，A是mx矩阵,下列选项正确的是().(A)若,4,%线性相关,则A%,4%，线性相关；(B)若a”。?，,见,线性相关,则A4,Aa2,A%,线性无关；(C)若外，a2,，=$线性无关,贝IJAa1,A。？，Aa5线性相关；(D)若%，线性无关，则A%,A%，AaS线性无关.3 .设A为阶方阵,若R(A)=一2,则Ax=0的基础解系所含向量的个数是().(A)O个；(B)I个；(C)2个；(D)个.(,4 .设;I=2是非奇异矩阵A的一个特征值,则矩阵一A?有一个特征值().(3)r2-

3、1-P100、5.设矩阵A=-12-1,B=010,则A与3()IT-I2)(A)合同且相似；(B)合同,但不相似；(C)不合同,但相似；(D)既不合同,也不相似.三、解答下列各题(每小题10分，总计60分)a00bOabO1.计算4阶行列式：，ObaOb00a矩阵,求X.3 .设四个函数/=e3xcos2x,f2=e3xsin2x,f3=e3xcos2x,=xXSin2x的所有实系数线性组合构成实数域上一个4维线性空间，求微分变换在基工,力，6下的矩阵.4 .确定常数。，使向量组=(I,。)7，a2=(1,a1),a3=(,1,1)r可由向量组二(U,)T,e=(-2m,4)用=(-2,。,

4、。)7线性表示,但向量组片,42,63不能由向量组四,见，。3线性表示.5 .若三阶方阵A与8相似,矩阵的特征值为求IB1-E.2346 .用正交变换化二次型/(和%2，3)=x2+4xix2+4x1x3+x；+4x2x3+后为标准形,并求出所用的正交变换.四、证明题(每小题5分，总计10分)1 .若A2=b2=E,且A+8=0.证明A+8是不可逆矩阵.2 .设A为机X实矩阵，且m，证明ArA为正定的充要条件是R(A)=第三套模拟题答案(100、1.3.3；2.(A*)-=22010-5.0.4.X=(U以1,一2,1,0),其中Z为任意常数;二、1.A；2.A；3.C；4.B；5.B.三、1

5、.解：原式=b210分2.解：由A4*=AE,用矩阵A左乘方程的两端,有4X=E+2AX得(1-11)X二(IA1E-2A)T.由于IA1=4,AE-2A=211-1111；p-11Yp10、故X=111-1=-01110分243.解:(/),二(/ACOS2x)=3/-2%()=2+3,()=Z+3-2,(),=+2+3.所以基下矩阵为3210-2301003210分、0023,4.解：由题意，向量组A:%可由向量组5：4,广2，自线性表示，则有R(A)R(B);由向量组3不能由向量组A线性表示，必有R(A)VR(3)3,即11aR(A)3.于是1aI=-(-1)2(+2)=0解得=1或。=

6、一2.另一方面a111-2-21aa=(。+2)伍-4)当=1时，R(A)=1,R(B)=3.即此色,夕3线性无a4a关，显然向量组可由4,外，尸3线性表示，而向量组回，夕2,夕3不能由,a2,a3线性表示,即。=1是符合题意要求的.当。二-2时，R(A)=2,R(B)=2.不满足R(A)=IgT1AT-E11g1二606.解:二次型的矩阵A=232、2,A的特征值为5,-1(二重)，对应5的一个基1础解系为A=(Uj)7,对应-1的一个基础解系为或=(TJQ)1&=(TOJ)1现将。看2正交化耳=蜃，曷=以一(3E)二5(TT2尸.将。g43单位化后，可得W的一组标准正交基7=自n_A_1%而飞(一1,一1,2)7.故所求正交阵为。=(7，/，/)=0)r,6，6260即(Ax)Ar=(Ar,r)0=Ax0,即Ar=。只有零解,故R(A)=n(U)若R(A)=，则齐次方程组AX=O只有零解.于是对于Vx0,均有AXWo,故(Ax,Ar)=(Ax)r(Ax)=(AA)x0,即A?A正定.5分