圆的面积的教学从等量代换到培育量感.docx

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1、圆的面积的教学从等量代换到培育量感圆的面积应该如何教学？通常地,离不开转化，即用转化思想“化圆为方”，通过观察、比较、推理等手段推导圆的面积计算公式，学会利用公式正确的计算。数学课标(2023年版)公布之前，这一切似乎都很正常、很合理C这次课标增加了核心素养的一个表现一一量感，它将对几何度量的教学带来一场革新。为迎接这场革新的到来，本文以圆的面积的教学为例，阐述笔者的探究。一、等量代换把圆分成若干(偶数)等份，剪开后，拼成一个近似长方形，通过等量关系，用圆的各部分数量代换长方形的各部分数量，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式。这是教学的常用做法。可能是因对它的反思，有的教学以数方格

2、的方式导入，然后再实施上述的转化。多绕了一个圈子，但等量代换的格局并没有改变。等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是一种代数思想方法，即由=bf()f(6)教学时，从S=IirXr=IiF,经历代数演变的过程，教师还可能强调求圆的面积必须具备半径这个条件，所以，学生有可能把圆的面积计算公式S=。，理解成为代数式，即当时，求S的值，至于他的大脑是否有几何图形、是否经历度量思维就不得而知了。作为教学现象，有的学生无法正确区分S=/和c=2r这两个公式，这与等量代换存在着某种关联。二、量感培养几何的本质在于度量，在于两点间的距离；长度、面积、体积都是如此。（史宁中，2023）所以说，面积的计算

3、要讲度量，面积的教学要讲培育量感。1 .数方格的含义数方格，可以数出某平面图形包含几个单位。如，一个长方形花坛长6米、宽4米，求它的面积。（人教版数学五年级上册，2023:85）有两种数数方法：一是直接点数出有24而，这是计数水平；二是分类计数，先数出每行有6再数出共4行，这是运算水平。后者与公式推导具有关联性，而前者没有。从总的看，数方格并不反映面积的度量过程。用数方格的方法能数出圆的面积吗？有教学通过数数让学生数出正方形面积/、圆的面积S,再计算得出两者之间的面积关系。（方芳，在数学史中启迪数学思想一一圆的面积教学设计J.小学教学设计数学，2023（4）:24-26.）其教学目标是提出S=

4、r2的猜想，而不是让学生对物体的数量刻画，发展量感。2 .圆的面积的度量圆的面积度量应该如何操作？首先，工具的选用。在度量单位确立之后，量感的具体表现是“针对真实情境选择合适的度量单位进行度量”。以人教版教材为例，度量圆形草坪的面积可以选用的测量工具为面积是1府的正方形，而改为度量硬纸圆形的面积则需要选用的测量工具为面积是ICrn2的正方形。其次，度量的方法。度量长方形等直线图形的面积时，通常可以在某一角的顶点开始，即把正方形一个角的顶点与测量对象一个角的顶点重合，现在要度量圆的面积，圆没有角，从哪里下手呢？这时，圆心的作用又一次显现出来，把正方形一个角的顶点与圆心重合，根据半径的长度度量出每

5、行有几个单位,再度量出共有几行，这是个圆面积的度量方法；重复操作，可得整个圆面积的度量方法。再次，度量的变化。在表达度量的结果时，学生发现总是难以得到合理的结果，因为不满1格的按半格计算,其结果误差太大。因此，产生等量代换的需求，也就是把圆代换为近似长方形，然后，按照长方形面积的度量方法去度量，直观地发现近似长方形的面积是正方形面积/的3倍多一些，甚至猜测出：圆的面积和正方形面积/的比值是倍。这种度量方法进一步说明面积的本质也在于两点间的距离,从而为公式的推理奠定了基础。综上，在直线图形度量面积，其可行性容易理解，度量操作也容易掌握；在曲线图形度量面积，其操作难度较大。学生只有经历了度量的体验

6、，才能对圆这种曲线图形面的大小形成定量方面的认知，才能加深对半径和直径的认知。三、基于度量的教学设计现以人教版数学六年级上册“圆的面积”（2023:65）为例，谈谈面积度量的教学。1 .测量工具的选用教师出示主题图，学生明确图意：要求度量圆形草坪的占地面积，也就是度量圆的面积。引导学生想象草坪的大小，如半径是IOm。这时，教师问：如果我们要用面积单位进行直接测量，如面积是Icm2的正方形、面积是IdnI2的正方形、面积是Im?的正方形，哪个工具合适呢？为什么？根据学生的回答，教师进一步追问：人们真得会用面积是的正方形去度量吗？为什么？师生交流后，共同协定用较小的如半径为4cm的圆形进行研究，并

7、选用测量工具为面积是ICnI2的正方形。设计意图：针对真实情境选择合适的度量单位进行度量，这是培育量感的基本要求。度量面积常用的面积单位有3种，或者选择性使用，或者综合性使用，虽然以往的学习也经常为之，但仍旧需要学生“学而时习”。2 .度量的实际操作教师问：你会用面积是ICnI2的正方形度量半径为4cm的圆形硬纸的面积吗？学生小组学习，共同商量其操作方法。操作时，主要有下列情形。（1）有的学生可能一个面积是ICnI2的正方形从圆心开始度量，或在全圆度量，或在圆度量，做到正方形的一个角的顶点与圆心重合,其中一条边与半径重合，用笔描出这个正方形，然后，平移正方形,重复操作或在全圆度量，或在圆度量。

8、(2)有的学生可能用面积是ICm2的正方形透明方格纸进行度量,把方格纸覆盖在圆上，圆心与方格纸的一个角的顶点重合，如图1,或在方格纸上画圆的外接正方形，或在方格纸上画出面积是I2的正方形。r-r-r-r-r-r-m-r-r(3)有的学生可能从圆上开始度量，正方形的一条边与直径重合，正方形的一个角的顶点与直径的端点重合，他们的操作好像有一定的难度，因为对操作方法的可行性他们自己都不太确定。设计意图：直线图形有角、有线段的端点，面积度量比较容易操作；而曲线图形的面积度量需要学生自己去找到线段及其端点，或者全图度量，或者部分图度量，需要学生有更高的智慧。“做中学”，有利于学生培育量感。3 .度量近似

9、长方形的面积引导学生表达度量的结果，学生发现：不满1格的按半格计算,结果误差较大，难以得到合理的结果。这时，学生可能想到把圆转化成学过的图形。教师引导学生动手操作把圆形硬纸对折再对折，4等份剪开，用这些纸片拼图，如图2。学生可能对所拼的图形无法说其名称。HHMrHt，-ft-1升-rI-Y-1J1J1人AJ1r.tTIIr1r1a-a卜j.C*务八r砰1/吨:卜西，J，彳N人.基BI4BIrCfT1图2图3教师引导学生继续动手操作把上述纸片对折，即圆形硬纸8等份剪开，用这些小纸片拼图，如图3o学生可能说，有点像长方形。教师用课件展示把上述小纸片对折，即圆形硬纸16等份剪开，再拼图，如图4。师生

10、达成共识，这是一个近似长方形。1III1III图4进一步归纳，图2、图3、图4的拼图部分都可以说是一个近似长方形，并推想分的份数越多，拼接的图形就会越来越接近于一个长方形。引导学生用方格纸度量近似长方形的面积，操作时把近似长方形的一个角的顶点与圆心重合，如图2、图3、图4所示。在近似长方形中解析出面积，的正方形，提出猜测：圆的面积和正方形面积产的比值是倍，即S2=,或者S=。设计意图：转化是度量的需要，因为曲线图形的度量难以得到合理的结果，转化为近似长方形，度量的工作就变得比较容易，只要运用已有的直线图形度量经验即可。由于在前面已经度量出面积是r2的正方形，以此为基础，就能猜测出圆的面积和正方

11、形面积/的倍数关系，从而也加深了对圆周率的理解。4 .解析图形与近似长方形的等量关系利用图4,观察圆形和近似长方形之间的等量关系。(1)圆的面积等于近似长方形的面积；(2)宽近似于半径r,长方形的长近似于，即尸。观察图3、图2,圆形和近似长方形之间存在同样的等量关系。引导学生进行推理，因为长方形的面积S=Qb,所以，圆的面积S=TirXr=/,其中，表示圆的周长的一半。近似长方形中每行有个面积单位,有r行;它与“圆的面积和正方形面积产的比值是倍，为等价关系。这个公式，告诉我们今后度量圆的面积只要使用长度测量工具度量出相关的长度就可以进行计算了。具体的说，半径为4cm的圆形硬纸的面积是S=17=X42=16(cn?)。而圆形草坪半径是4m,占地面积是S=，=x42=16(n?)。使用的测量单位不同，所得到的面积大小不同。设计意图：圆的面积计算公式可以理解为圆的面积度量过程及其结果的数学表达式，利用公式计算面积时，可以同时想象面积的度量过程，计算与度量相融合，在面积的计算过程培育量感。综上所述，圆的面积的教学以度量为核心开展，选用合适的面积单位在“做中学”培育量感，因度量的需要而转化图形，面积计算公式是度量的数学表达式。这样，圆的面积的教学就发现了新的变化，从等量代换发展到培育量感。