专题6 第9讲抛物线的焦点弦问题.docx

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1、第9讲 抛物线的焦点弦问题直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目.例1 (1)(2020石家庄模拟)已知尸是抛物线)2 = 2/S0)的焦点，过产的直线与抛物线交于A,8两点,A8的中点为C,过。作抛物线准线的垂线交准线于C,若CC的中点为M(l,4),则p等于()A. 4 B. 8 C. 472 D. 8吸答案B解析如图,设AQi, ji), 8(X2,闻，M(1,4),)，|+以=8,代入 y2=2px,得 y2py-p2=0,J)+=8.过抛物线V=4式的焦点产的直线/与抛物线交于4 8两点,若依用=2|明,则履用等于()9A

2、. 4 B - C. 5 D. 6答案B解析不妨设点A在x轴的上方，如图，设A, B在准线上的射影分别为), C,作BELAD于点E,设|5日=加，直线/的倾斜角为仇则 |AQ = 2z, AB=3m,由抛物线的定义知AD = AF=2m, BC = BF=m,所以 cos。=携=；，所以 tan 0=2y2.Q则 sin20=8cos20,所以 siMe=g.2n 9由V=4x,知2p=4,故利用弦长公式得股=弱=京例2已知抛物线C)2=8x, P为C上位于第一象限的任一点，直线/与。相切于点P,连接PF并延长交C于点过P点作/的垂线交C于另一点N,求PMN的面积S的最小值.解 由题意知尸(

3、2,0),设Pg yo)(yoO), 喂，y),(事，)I切线/的方程为xxo=t(yyo),则由=停一2,9)，崩=停一2,)；(),由M, F, P三点共线，可知而碎,即停-2)州-曾-2| =(),因为泗Wyi,所以化简可得)梦1 = 一16.xx（）=t（yy（）9）?=8x,可得 y28ty+8tyo8xo=0,因为直线/与抛物线相切，故/=64F32)o+4y8=O,故所以直线PN的方程为yyo=(五一xo),即 yox+4y4加一?=(),所以点M到直线PN的距离为|空+4州-枷一1d=/-,16将乃=一乎代入可得)0/柒伙+部 侪+16)2由8+1681yo小计 16，V（）x

4、+4y4yoW=0,联立*8 消去x可得，y=8x,次铲+32 yW3 2y（）=0,3232所以划+竺=一三，J2=-yo,加旧尸/。+露S国，故 S=elPN1、，（）3+16）2 - 2（y8+16M8+162 8|）WW+16 的此时，尸MN的面积S取得最小值，为64.能力提升-设A3是抛物线y2=2px(p0)的一条焦点弦，焦点为 A(xi,)“)，3(孙丁2),则(1)为改=4，W=-(3)依为=前7a为弦AB所在直线的倾斜角).西十1 _2丽=5。跟踪演练1 .设厂为抛物线C：)，2 = 3%的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于A, 8两点，。为坐标原点，则QAB的面积为()

5、,3小 岖-63、9A- 4 B- 8C-32 D4答案D解析 由已知得焦点为尼，0),因此直线A8的方程为丫=韭一?，即4x4小y3=0.方法一联立直线方程与抛物线方程，化简得 4)212，5y9=(),故 yA油|=Yo4+yB）24）x），8=6.因此 SzxoA8=30川b%_)H=；X(X6=*21Q21方法二 联立直线方程与抛物线方程得X2yx+v7=0,故xa+xb=7.2Io221 3同时原点到直线A8的距离为d=、/42+（4小）2 8根据抛物线的定义有网阳=如+他+=号+/12,答案解析抛物线C：)2=8x的焦点为F(2,0),2 .过抛物线丁2=2pMp。)的焦点尸且倾斜

6、角为120。的直线/与抛物线在第一、四象限分别交于A, B两点,则需的值等于()|立尸IA?答案A解析记抛物线y2=2px的准线为,如图，作A4/ , BB山，AC1BB9垂足分别是 4, Bi, C,则BiV/4DD BC m-AACOS/A881 依川AF+BFIM 一 |AF|= |AF| + |5FTzBm=iBFy3 .已知抛物线C)2=8x的焦点为R点M(2,2),过点尸且斜率为人的直线与。交于A,B两点,若NAM8=90。，则攵等于()A巾 B.乎 C.| D. 2由题意可知直线A3的斜率一定存在,则 X+X2 = 4+卷,8所以设直线方程为2)(4#0),代入抛物线方程可得k2

7、x2(4k2 + 8)x+4Z:2=0,设 AQi, %),吠及,2),所以J1J2= -16,因为 NAM3=90。，所以 M1M万=(即+2,-23+2,)，22)=矍一牛+4=(),解得左=2,故选D.4 .如图，已知点F(1,O)为抛物线)，2=2px(p0)的焦点，过点尸的直线交抛物线于A, B两点,点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q,且。在点F右侧,记4打；, CQG的面积为S1，Si.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求普的最小值及此时点G的坐标.32解 由题意可得今=1,则=2,2p=4,抛物线方程为V=4x,准线方程为工=一1.(2)设 A

8、(xi,巾)，8(X2, ),直线A8的方程为丁=女(1一1), Q0,与抛物线方程V=4x联立可得，-2一(2尼 + 4)冗+&2=(),4故即+12 = 2 + 9，XX2=,yyi=一币ix 币三=-4,设C(X3,巾)，由重心坐标公式可得xi+.r2+x3,八XG_ 3_?(2+/+到，加=吐吐_40、,44令） =。可得，3=一齐 则依=号=后，即 xg=|（2+1+3=1（2+制由斜率公式可得,g=总=墨=a,4 44直线AC的方程为yy3=V-（工一片），令y = 0,可得出气+ 一吗+刈=+ 一，吗1垃一竽故 Si=1x（xG-XF）Xyi=1x 1（2+击）_lxyi=5x（_g），且 S2=1x （xq-xg）X （y3）=岂-竽出2+凯由券=一与代入上式可得52=锻一/给，4由 yi+”=z，yi”=4 可得温=点则人泰5二己义（甫5_ 2）*（货一 2）、5z 2A,i_2_ 8 A。彳4）（科+4）=2-48。彳-8）+=+16沁一 I 4 48 2h-8）X /+16当且仅当）彳-8 =）二g,即y?=8+4小，=加+爽时等号成立，此时攵=）；3=6，xg则点G的坐标为（2,0）.