专题一 第6讲导数的简单应用.docx

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1、第6讲导数的简单应用考情分析1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小2应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题.考点一导数的几何意义与计算【核心提炼】1 .导数的运算法则(1)伏幻土g(x)r =/(x)gr(%).(2)/ug(x)r =/ a)ga)+/u)g a).八 f a)ga)Ag a” ,(3)U)J - 侬加内气(尹。)2 .导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.例1 (1)已知函

2、数1X)的导函数为/。)，且满足关系式40=炉+30”(2)Inx,则/ (2)的值为()7799a-4 B.-4 C.4 D.答案B解析 yAx)=x2+3xf, (2)-lnx,：.f (x)=2x+3f (2)-7,令尸2,得/ (2)=4+3/ (2)W7解得/ (2)=(2)(2019江苏)在平面直角坐标系宜制中，点4在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(一e, 一l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.答案(e,l)解析设 A(x(), In xo),又 y=：,人则曲线y=lnx在点A处的切线方程为ynx()=r(xxo),将(一e, 一1)代入得，-1一lnx

3、()=(e演)，化简得lnx()=工，解得x()=e,则点A的坐标是(e,l).易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点尸处的切线，必以点P为切点.跟踪演练1 (1)直线2xy+l=O与曲线y=ae+x相切，则。等于()A. e B. 2e C. 1 D. 2答案C解析设切点为(，aen+n)f因为y =ae+1,所以切线的斜率为。e“+l,切线方程为 y(。方+)=(ae+ l)(xn),即 y=(aen+ l)x+aen(l ri),依题意切线方程为y=2x+l,ae+l=2,故彳“八、,

4、解得。=1, n=0.ae(l)=1,(2)若函数产危)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称尸五或具有了性质.下列函数中具有丁性质的是()A. y=$inxB. y=lnxC. y=eD. y=xi答案A解析 对函数y=sinx求导，得y =cosx,当x=0时，该点处切线/i的斜率佑=1,当x=兀时，该点处切线b的斜率攵2= 1,所以h%2= 1,所以/|JL，2；对函数y=lnx求导，得)/ =：恒大于0,斜率之积不可能为一1；对函数)，=e求导，得=e恒大于0,斜率之积不可能为一1;对函数y=/求导，得了 =3f恒大于等于0,斜率之积不可能为一1.考点二 利用导

5、数研究函数的单调性【核心提炼】利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.2. x 1例2 已知人x)=a(xlnx)+一，R.讨论凡v)的单调性.解/U）的定义域为（0, +8）,a 2 2 （o?-2）。1）J （x）=-?+?=?-若W0,当（0,1）时,f （x）0,於）单调递增,xe（l, +8）时，f（x）o, r）单调递减,若AO, f（X尸石+一噌Q+/.（1）当 02 时，|1,当 x（0,l）或工（|, +8）时，/ （x）

6、0, /（X）单调递增，当工（上、/1）时，,（6 7U）单调递减（2）当。=2时，|=1，在xs（0，+8）内，/。）20,大幻单调递增.（3）当。2 时，0吟1,当工（0,、/1）或X（1，+8）时，/ U）0,人幻单调递增，当/卬|，1）时，/ （幻0,7U）单调递减.综上所述，当W。时，./U）在（0,1）内单调递增，在（1, +8）内单调递减；当（）2时，#x）在（0）内单调递增，在（1,靖）内单调递减，在+8）内单调递增;当4=2时，力力在（0,+8）内单调递增；当。2时，/U）在（o, y|）内单调递增，在1）内单调递减，在（1, +8）内单调递增.易错提醒（1）在求单调区间时“

7、定义域优先”.（2）弄清参数对，。）符号的影响，分类讨论要不重不漏.跟踪演练2已知定义在R上的函数JU）的导函数为/ （x）,对任意大（0,兀）,有/ （x）sinx次r）cosx,且八幻+4一幻=0，设人=物仔），。=一/（一3，则（）A. abcB. bcaD. cbaC. ac0,所以函数g（x）在区间（0,兀）上是增函数,因为x)=0，rf(X) x)即大幻=_负-幻，g(_x)=7=sinV所以函数g(x)是偶函数，所以 g。周g()=g(-。代入解析式得至U 2.尼)/尼)-/(3，故 ab0,要使/。)20恒成立，则x+aO恒成立.* x+a +a,l+a0,解得。一1；当0xl

8、时，In x0,要使/ (x)20恒成立，则x+W0恒成立，* .*x+c/0,因为函数7U)=e，一(m+l)ln x+2(z+l)x1恰有两个极值点，所以函数/ (x) = e，一2(m+ 1 )(心0)有两个不同的变号零点.令eA-+2(/?z+l)=0,等价转化成吕：=m+1。0)有两个不同的实数根,1 4人所以Q)=(121)2(xe) (1 2x)xe(l 2x)e(2x+l)Q-l)(1纷时，。)0,此时函数(i)在此区间上单调递增,1)时，h1 U)0,此时函数 (x)在此区间上单调递增,当工(1, +8)时，h (x)m +1,即em +1,整理得?0, W1),对任意 x”

9、 X20,l,不等式心i)/(R2)|Walna+e4恒成立，则q的取值范围为()ri 1A. 2f eB. ejC. e, +)D. (e, +)答案C解析 依题意，得alna+e420,因为/ (x)=avln a+e- 1-ln a=(ax-)n a+e 1,当1 时，对任意的 x0,l,120, In tz0, e-lNO,恒有/ (x)20；当 0l 时，对任意 x0,l,优一IWO, Ina0, e-lNO,恒有/ (x)20,所以於)在0,1上是增函数,则对任意的加，也01,不等式监)一X2)|Wahia+e4恒成立，只需 7U)max/U)minWHn o + e -4,因为y

10、u)max=/(l)=a+e1In a,7(X)niin=X0)=l + l=2,所 以 a+e 1 In a2：an i+e4,即。一In a+1 Hn即(1+)(1 -lna)0,函数r)单调递增；当+8)时，f(元)0),所以 / =2f+ 2( 1 In /)(_：) = 2(广+ ； / -令(p(t)=t2+n zl(r0),易知函数8(/)在(0,+8)上单调递增，且9(1)=0,所以当0/1时，/时,/ (00,所以人。在(0)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，所以/Wmin = /U) = 2.因为|MN|冽CM-1 =一 1,所以线段MN的长度的最小值为6一1.专题强化练一、单项选择题1. (2020.全国I )函数/U)=d22的图象在点(1,41)处的切线方程为()