昂萨格倒易关系的简要证明.docx

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1、昂萨格倒易关系的简要证明杨明阳,冯玉广(山西师范大学物理与信息工程学院,山西临汾041004)摘要:在线性非平衡热力学中,昂萨格倒易关系对其发展起着极为重要的作用.昂评格倒易关系大大减小了实验分析的困难和工作量,为从实验角度来确定唯象系数提供了可能.本文分别以温度而体积丫以及温度加粒子数N为自变量证明了昂萨格倒易关系,并探索了燧产生率中力和流的物理本质.关键词.昂萨格倒易关系，涨落,唯象系数中图分类号.O414.14文献标识码：A文章编号：100020712(2009)12200192031昂萨格关系在近平衡的体系中发生的非平衡过程，把引起冬统产生响应的物理量称为作用物理量使者动力),正为K，

2、而把代表响应的物理量称为效果物理量假者流),记为4在非平衡过程中，一个流也许不止由一个动力引起，一个动力通常也不止与一个流相关.在一般情况下,它们通常满足以下动力方程；JA=：1A其中人是唯象系数,当A时,唯象系数11122133、称为自唯象系数,它建立起动力XX和它所对应的流人之间的联系,当A时,唯象系数1i2、1zfr称为互唯象系数,它反映了不可逆过程之间的交叉效应.研究近平衡的非平衡过程的动力和流的关系，必须首先确定各唯象系数.对于只有2种力和2种流这样的最为简单的体系也需要有4个唯象系数要确定,这就使得从实验角度来确定复杂体系的唯象系数变得十分困难.1931年昂萨格提出了如下关系：1k

3、k=1kii(2)称为昂萨格倒易关系”2.其物理意义是,某一过程的流受到另一过程的动力影响时，那么该过程的直力也必会影响另一过程的流.式(2)使得我们所需要确定的唯象系数大大减少,从而为研究线性非平衡问题提供了可能性.2昂萨格关系的导出我们分别用代表耐亥IJS的涨落值,AaC+j和A6(，+。分别代表，+时亥IJ1、8的涨落值.根据微观可逆性原理,单个粒子的一切力学过程对f的变换是不变的,即有(r)(+r)=3(t)a(t+)(3)将上式两端减去(世做”得a(t)(t+)-1a(t)(t)=AB(t)a(t+)-cr(t)3(t)上式两端同除以丁得Aa.ABU+7-正=Ag(力Aae+E)-A

4、aC)当TTfO,由微分的定义得()f(4)9r9/如果将涨落的变化速度产蜉称为流,相应的动力为凡均假设它们满足以下线性关系：*af-r.r9, 一1aa八a+4个勃B(D=1aXit(5)式中心暗和以分别关联了热力学力凡、见和它对应的热力学共乐流岁半蜉；四和绿反映了Q、日这两过程之间的交叉耦合效应.将式(5)代入式(4)得收稿日期：2008-12-29日；修回日期：2009-06-26作者简介:杨明阳(1984-),男,河南邓州人,山西加范大学物理与信息工程学院2008级硕士研究生,研究方向:非线性科学及其应用.x+xj5=1aaXa阴+1aM4B(6)下面分别对闭系和开系证明=1m对于封闭

5、系情形(AN=0):根据基本热力学涨落的概率分布公式W=CexPAA-AiW+心可(7)式中卬为系统的温度7燧S压强体积V化学势ZZ粒子数N相对于平衡态T05、RoM)W。有偏离I1piAvQtzWv时的概率；Z为玻尔兹屋常量；C为归一化常数.在封闭系情形下有卬=CexP-7s-v)(8)将以T为自变量的和代人上式,得M-9A/一曷1(9)可见,7V为统计独立的.选取T、丫为自变量,平衡态时为R、.将S在%)处展开至二次项,并考虑彷S)O=0,有S=S0+，S则AS=S-SoU(1)将AsdTZXb对时间求偏导数,并利用式(10),有GSJ处目,QAr必目JAV=9/，处方v9/十1*曰9f二

6、因为8S=(7S-心V)吗将以Tw为自变量的5代入则有&=先/-就H：所以代入式(Ii)并与嫡产生的表达式比较切,力和流分别可表为_JTj9/=_/力一9/=-,T-vTVkr(14)(15)将式(14)、(15)分别代入XTA丁、XTAv、XVAt、XVAv得xrvTSMMH3,一卷壮YwraSyd(/XATHSQ3(AJ-累力QDSSdA力r力SSXVVwj力(ADxv(12)(13)Xvv=TVr/SI,m口一煎”皿，QDSSM力(AD有.Jfjv=o(16)X7T=-k(17：XVAt=O(18：xvv=-k(19)再将温度的偏离AT体积的偏离Av和互唯象系数1vt匕4代入式(6)得1

7、vXAT+1wXvT=1XAV+1n,XvV结合式(16)-式(19)得1TV=IVrtvTH(a/yKT闭系中的昂萨格倒易关系得证.开系情形:选取TW为自变量，设体系具有固定的体积(v=0),由式知卬=Cexp点ATS-A国将以TW表示的AS和代人上式得e/-N2-1M：定义由于S小5用常才T闿J可：代入式（21）得用处理闭系板同的方法,可得到XDt=-八XAN=0X.v=0vyv=%再将温度的偏离粒子数N的偏离AN和互唯象系数1NTC小代入1fXAT+1nnXnT=1X1N+1inXnRN得1N-1nt开系中的昂萨格关系得证.3讨论D从燧产生率的一般表达式可以看出,炳产生可以看作不可逆过程

8、的广义力和广义流的乘积之和的形式.比如JJ吴单位时间内从化学势高的部分向化学势低I的部分迁移的粒子数,称为扩散流,引起这种流的动力是-.同理,在上述的讨论中，当粒子对平衡态有微小的偏离时,鬻为该偏离所产生的流,引起该流的动力是-留yv.7SWJ,v从式（12）-式（15）以及式（22）、（23）可以看出，当系统对平衡态有微小的偏离7可没时，引起这些流的力分别为G畔、-篇v及-.这与炳产生率表达式中引起热流IyN）tv的动加+扩散流的动力-彳化学势为压力和组分浓度的函数小）极其相似.2）对式”4）、（15）作进一步整理得(23)其中表示系统对平衡态的微小偏离.由于7、VJV是对平衡态的任意微小偏

9、离,从统计学的角度可知，这种微小偏离所引起的微观状态数分布偏离对于整个系统而言是微不足道的,或者说是可以忽略的.但从上述推导可以看出,正是由于这种微小的偏离引起了燧产生，也即由于偏离所引起的微观冲态数分布改变而引起了炳产生.用系统的微观状态舞密度代换系综的概率密度推得嫡产生的简明公式，进而可知系统的微观状态数密度在空间随机不均W的离开平衡态是宏观增产生的微观物理基础.由于非平衡系统的宏观焙产生是由微观状态教密度在空间随机不均匀引起的，仅当内部粒子具有随机扩散运动时，统计热力学的炳才可能增加.从烟产生率的一般表达式可以看出,系统在空间非均匀地离开平衡,也即在空间存在物理量的空间梯度,是燧产生的基

10、础结合这两点,从式（12）T（15）以及式（22）、（23）可知.系统对其平衡态有微小的偏离也即微观状态数密度在空间随机不均匀的离开平衡态是其宏观炳产生的微观物理基础./朗道皿栗弗席兹EM1统计物理M1杨训恺,等,译1北京:高等教育出版社，19642KuboR.TbdaM,HashisinieN.Statistica1Physics1M.ringer-Ver1ag,1995:168(T转24页)没有上下底面的圆柱面.3结束语本文从转动惯量的定义出发推导了均质旋转直绕旋转轴转动的转动惯量计算公式，并讨论了鼓形面花瓶形面圆台面圆锥面和圆柱面等特殊形状均质旋转面对旋转轴的转动惯量，其结果具有普逅意义

11、,并可推广应用.参考文献：楼智美.巧算常见均质旋转体对母线的转动惯量J1.大学物理,2003,22(11):26227.21周国全.任意四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式J.大学物理，2003,22(12):2023231商众友.任意多边形匀质刚板绕垂直板面质心轴的蕤动惯量的几何求法JJ.大学物理,2005,24(1):22224周海英,陈浩,张晓炜.巧算一类均质刚体的转动惯量4JJ1大学物理，2005,24(2):16218秦瑶.常用均匀刚体的转动惯量的求法讨论J1大学5物理，2002.21(2):39241.赵新闻,周欣然,杨兵初.椭圆环刚体的转动惯量IJ.大学物理，2008,27(6)

12、:13214.1周衍柏.理论力学教程M/.北京高等教育出版社，1986:1723847Therotatbna1hertsofUnfOmIrotatbna1rigidsurfacesaboutthearoundaxis1OUZhi1nei(DepartnentofPhysics,ShaoxingCo11egeofArtsandSciences,Shaoxing,Zhejiang312000.China)AbstractiAcrdingtothedefinitbnofrotatbna1inertia,therotationa1inertiasofUnifonnrotatbna1rigidsu2fo

13、cesabouttheaoundaxisareobtained,and(he)tatbna1inertiasofsomeecia1UnifoImrigidsurfacessuchasthednsurfaces,thevasesurfaces,thefrustuconesurfaces,thecircuhrnesurfacesandthecy1indrica1sur2focearea1sodiscussedinthispaperasspecia1examp1esKeywords:unifomrigidsurfaces;aroundaxis;rotatbna1inertiaCk接21页)3Prig

14、jgineIIntIodUC1bnOThe1mOdynimicsofIrreversib1ePiocessesfM.3rdedNewYork:htersciencePub,196741PrigogmeBu11cIasseSciJIAcadRoyBe1g.1945,31:60Q(5马本琴,高尚慧,孙煜.热力学与统计物理M.北京：高等教育出版社.1984:2852291.16冯玉广,李.热力学与统计物理学导论M1，北京:中国科学技术出版社，2005:209216李如生.非平衡态热力学与耗散结构IM.北京:清华大学出版社，1986:622241.邢修三.炳产生率公式及其应用J1.物理学报.2003(12):29692977.Asmp1eproofforOnsager,srecprocityreIatbnYANGMingang,FENGYuuang(Sch1ofPhysicsandhfonnationEngineering,ShanxiNoima1University,1infen,Shanxi041004,China)Abstract:TheOnsagefsrec