三阶幻方(含答案)-.docx

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1、三阶幻方同学们：在3x3 （三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上19这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。如果在4x4 （四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在4x4方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。一般地，在几X几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上儿X儿个连续自然数，（注意这儿X几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形

2、叫做几阶幻方。（一）思路指导与解答例1.用19这九个数编排一个三阶幻方。分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线卜的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。（2）求幻和:幻和=（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +

3、8 +9） 3= 453=15（3）选择突破口，显然是e,看图2。因为：6z+e + z = + e + = c + e + g = t + e + = 15所以：( + e + i) + (b + e + ) + (c + e + g) + (d + e + / )= 15 + 15 + 15 + 15 = 60也就是：(Q+/7 + c + d+ e + /+ g+/7 + i) + 3xe = 6O又因为：a+ b + c + d + e + f + g + h + i = 45所以 45 + 3 e = 603 e = 60 - 45e = 5也就是说，图1中的中心方格中应填5,请注意

4、，这个数正好是19这九个数中正中间的数。(4)四个角上的数，a、c、g、i的特点。我们先从a开始：想：a是奇数还是偶数。如果a为奇数，因为+i = 10,所以i也是奇数。因为奇+奇=偶。又因为+d + g = 15,所以d与g同是奇数或同是偶数。分两种情况：1当d、g都是奇数时，因为d + e + = 15, g + z + i = 15,其中e, i都是奇数,所以f、h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而19中九个数只有五个奇数，所以矛盾，说明d、g不可能为奇数。v2当d、g为偶数时，因为d + / = 10, g + + i = 15 , c + g

5、 = 10 ,因为i为奇数,所以f、h、c只能是偶数，这样就有c、d、f、g、h五个偶数，而19这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明d、g都是偶数也不行。所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由0+i = l()知i也是偶数。用同样的方法可以得到c、g也只能是偶数。也就是说图1中四个角上的数都应填偶数。(5)试验填数排出幻方。因为e = 5,。、c、g、i是偶数，所以a的范围有2、4、6、8四个数，根据幻和等于15进行试验。当 q = 2F, i = 8, c = 4 或 6,若 c = 4,则有 g = 6b = 9, d = 7, /=3, = 1,若 c = 6,则有g=4b = 7, d

6、 = 9 9 / = 1, h = 3,这样可填出两个幻方。当。二4、6、8时，请同学们自己练习填写。用19这九个数编排的三阶幻方有八个：说明：在上面图形中给出的用19这九个数字编排的八个三阶幻方中的任何一个,都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。从而得到其它七个图形。例2.请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。分析：根据题意，要使三阶幻方的幻和为24,所以中心数必为243 = 8,那么与8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16o因为：1 + 15=16, 4 + 12 = 16, 7 + 9 = 162 + 14 = 16, 5 + 11 = 163+13=16, 6+10=16按上述

7、条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为24o00同0例3.在下面图中的A、B、C、D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。分析：从第一行和对角线可得:A + 7 + Q = 4 + 10 + 67r = 16D = 9这样幻和= 9 + 15 + 6 = 30从第一行中可求出： = 30-(7 + 9) = 14从第二行中可求出：B = 30-(10+15) = 5从第三行中可求出：C = 30-(ll + 6) = 13例4.在下面各图形的。里填上适当的数，使每条线上三个数的和都等于21。92110分析：这道题只要我们求出一个顶点上的数，其它数就容易求出来了。我们先想右下角的数。(1)

8、21-8 = 13, 21-10= 11想：“13”左右两个数的填法，“11”上下两个数的填法。13/ 1 122 113 104 95 86 77 611/ 1 102 93 84 75 66 5当8右边的数和10下面的数出现同一个数时，就是右下角要填的数，即右下角要填6o(2)填写左下角。内的数：21-(86) = 7,左下角为7。(3)填写下面。内的数：21-(6+10) = 5,上面数应填5。(4)左边线上三个数相加：5 + 9 + 7 = 21,说明符合条件。答题时间:25分钟（二）认真思考，独立完成1 .用19这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。2 .用311这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。m3 .在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30o请做完之后再看答案!【试题答案】（二）认真思考，独立完成1 .用19这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。2 .用311这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。33tzl3 .在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30o