极限计算方法总结_8.docx

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1、极限计算方法总结靳-东高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1 .定义：(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述)。说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如fo四盛彳岁能力为常数包zW)；1irn(3x-1)=5;Iimqn=时；等等(2)螃面求极限时

2、，(1等提到油流渤期制囱记想直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2 .极限运算法则定理1已知1im(x),Iimg(X)都存在，极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(1)1im(x)g(x)=A8(2) Iimf(x)(x)=AB(3) Iim=4,(此时需BWO成立)g(x)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,不能用。3 .两个重要极限sinx,(1) Iim=1a0X-.1(2) Iim(1+x)=e；1im(1+-)x=ex0xX说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳-东，男，(1964),副

3、教授。.1x例如：Iim*3入=1,Iirn(I-2x)-2=e,1im(1+3=e.等等。x031XTOXKoX4 .等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3当x0时，下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价，即有：X-sinx-tanx-arcsinx-arctanx-1n(1+x)1。说明：当上面每个函数中的自变量X换成g(x)时(g(x)O),仍有上面的等价关系成立，例如：当xO时，ex-13x；1n(1-x2)-X2o定理4如果函数/(x),g(x),工(x),g1(x)都是RXo时的无穷小，且/(x)rf(X)r/(x)1(X)，g(x)g(x)

4、,则当hm存在时，hm也存在且等于KfrOg()x*og()r/(*)rF(X)rE(X)f(x)I1rn-，即hm2-=Iim。-X。g(x)og(x)XTXog(X)5 .洛比达法则定理5假设当自变量尤趋近于某一定值(或无穷大)时，函数/(X)和g(x)满足:(1) /(X)和g(x)的极限都是O或都是无穷大；(2) /(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；(3) HrnO?存在(或是无穷大)；g(x)1. f(x)1.ff(x)1.f(x)1.f,(x)则极限IIrn-;也一定存在，且等于Iim,即I1rn=Iim。g(x)g(X)g(x)g(X)说明：定理5称为洛比达法则，用

5、该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“9”型或“艺”型；条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕0后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6 .连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果/是函数/(X)的定义去间内的一点，则有Um/(X)=/(x0)7 .极限存在准则定理7(准则1)单调有界数列必有极限。定理8(准则2)已知招,先,2为三个数列，且满足：(1) yzz.,5=,2,3,)(2)Iimyz1=Q,IimZZt=Qn8CO则极限Ii

6、mXZt一定存在，且极限值也是a,即Iim居=。ICO二、求极限方法举例1.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限71O0例】.叵亘二XT1x-11.(3xI)-2r解：原式=hm,=IimXf(X-I)(3x+I+2)Xf注：本题也可以用洛比达法则。例2IimV(h+27n-)n3x-3(x-1)(3x+1+2)41Tn(w+2)-(n-1)解：原式二IImr=/5yn+2+yn-分子分母同除以公32例3Iim12+3”解:上下同除以3原式=2.利用函数的连续性(定理6)求极限例4Iimx2exx2_1_解：因为XO=2是函数/(x)=2e”的一个连续点,2所以原式=22潟=4、心。3.

7、利用两个重要极限求极限例5Iim1-COSx3x22sin22sin2122解：原式二IInI4=Iim-=-。3xo12.()26注：本题也可以用洛比达法则。例61im(1-3sinx)x01-6sinxI-6sinx解：原式=Iim(I-3SinX)E一=1im(1-3sinx)五赢一x0XTO“，v/一2、例7m(-)“/?+1Q/1-3Q+1-3解：原式=Iin1(1+二；户而=IimK1+二K=e。z,ocn+1wn+14 .利用定理2求极限.21例8Iimxsinx0X解：原式=0(定理2的结果)。5 .利用等价无穷小代换(定理4)求极限x1n(13x)例91厂TrI。arctan

8、(x)解：.x(,1n(1+3x)3x,arctan(x2)-x2,原式=IimE岁=3XTOX_sinX例10Iim；x0x-snx1. esinx(r-sinx-1)1,eiimx(x-sinx)1解：原式=IIm；=Iim；=1。-v0x-snx-r0X-Sinx注：下面的解法是错误的：1(e-i)-(esinr-1)1.x-sinx1原式二Iim=Iim=1。JoX-SinXXTOX_sinx正如下面例题解法错误一样：1. tan%-sin%vx-x八Iim=Iim=()o050itan(x2sin)例11Hm-v0Sinx解：当xO时，/Sin1是无穷小,.tan（x2sin）与si

9、n1等价，XXX2.1xsn-所以，原式=Iim-=Iimxsin-=O（最后一步用到定理2）XToXXTOX6.利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。(例4)1.1-cosx例12IimIo3广1.sinx1解：原式=IIm二一=:。（最后一步用到了重要极限）-06x6TiXCOSO例13Iim-XT1X-I.TJXsin一DD几解：原式=InT1=XT112例14Iim.v0x-snxX3cos%-(cos-xsinx)3x2=Iimx0XSinX3x21-cos%SinX1解：原式=IiIn

10、/=IimT:。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）9。3x2o6x6sinxxcosxX2sinx解:,31.sinx-xcosx.原式=Iun=Iimx0%2.X.v0rr1I1例18吧。一氤解：错误解法：原式二吧（一?二。正确解法：,Ti1.In(I+x)-X1.In(I+x)-X原式=Iim=IimXTox1n(1+x)oXX-1-I11.1rVX1=Iimj-1=Iim=。XfO2xo2x(1+x)2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例,.x-2sinx例19Iimo03x+cosx012cosx解：易见：该极限是“一”型，但用洛比达法则后得到：Iim:一：,此极限0XTS3-

11、sinX不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：2sinx1原式二IimJ（分子、分母同时除以X）is3+COSXX=-（利用定理1和定理2）37.利用极限存在准则求极限例20已知玉=行，%+1=j2+x,（=1,2,），求!吧怎解：易证：数列%单调递增，且有界（0X/2）,由准则1极限出hX存在，Too设Iim=。对已知的递推公式工+1=2+x两边求极限，得：a=y2+a,解得：Q=2或Q=-I（不合题意，舍去）所以IimX=2。n，111、例21hm(I/-+2+h2+22+1.z1111所以由准则2得：Iim(+)=1。h2+1h2+22+上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。