论文：数列求和的基本方法和技巧.docx

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1、专题复习讲座一一数列求和的方法和技巧重庆市大足第二中学欧国绪402360高中学段：数学数列在高考中的要求：1 .等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。2 .数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义一一项数的函数；理解通项公式的作用一一可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。3 .数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、

2、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。数列求和是高中数学的一个重点,也是高考的热点,纵观我市近几年的高考的最后一题，都是数列与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的压轴题。一、公式法：利用以下公式求数列的和=出!詈I=叼+见Pd(%为等差数列)=%-%q(#1)或5=40=1)-q-q(%为等比数歹IJ)3.12+22+32+川=(+1)(2+1)6f2333+=?等公式例如:已知数列.,an=n2-n,求前项和S解：S=(12-1)+(

3、22-2)+(32-3)+(n2-n)=(f+22+32+2)-(1+2+3+)z(+1)(2+1)+1)=(6F-(力一1)h(+1)3二、分组求和法对于数列%，若4=bt1c;且数列例、f都能求出其前项的和,则在求q前项和时，可采用该法例如：求和：Sn=0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99个9解：设q=o.吐二2=1-10-“个9Sn=6f1+%+。3+an=(1-10,)+(1-102)+(1-10-3)+(I-IO-4)+(1-10”)=(1+1+1)-(10,+10-2+10-3+10+10一)4加=n-(1-10)9三、倒序相加法(或倒序相乘法)1 .倒序相加法在教

4、材上推导等差数列4前项和S的公式：幽1a就使用的是该法，推导过程参看教材例如：求和S=Sin2I0+sin220+sin23+sin2890解：5=sin21o+sin220+sin23+sin289uXv5=sin289+sin288i+sin287+sin21o=cos2+cos22o+cos230+cos289即S=cos2+cos22o+cos230+cos289由+得2S=(sin2+cos2)+(sin22+cos22c)+(sin289+cos289=89,S=型22 .倒序相乘法例如：已知Q、b为两个不相等的正数，在、之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入

5、的这个正数的积凡解：设插入的这个正数为卬、的、生、。“且数列。、出、生、a、b成等比数列n贝IJab=axan=a2%.Pn=aia2a3an又=44%a由X得Pn=31%)(。2%T)=(如”n四、错位相减法对于数列W,若勺=ZVc.且数列物,、%分别是等差数列、等比数列时，求该数列&前项和时，可用该方法例如：已知数列%:勺=(2-1)3,求数列前项和5解：Sn=13,+332-533+2(-1)-13n-1+(2n-1)3在上式两边同乘以(或除以)等比数列W的公比3,得3S=132+333+534+2(-1)一13+(2n-1)3n+i由(两等式的右边错位相减)2S=13,(332-132

6、)+(533-333)+(2n-1)3,-2(n-1)-13-(2n-1)3,+,=13,+232+233+23n-(2n-1)3n+,=13,+2(32+33+3w)-(2-1)3n+,=3+(3h4-9)-(2-1)3=(2-2n)3f1+,-6JS=5-1)3+3五、裂项相消法常见的裂项方法有：1.-1-=1(1-nn+k)knn+kO11,11、乙-=-)(2一1)(2+1)22n-2n+3. Ij11(几+1)(+2)2n(n+)(n+1)(n2)4. z-(G+k-G)yn+k+k例如：已知数列%：/=-ZT_52),求数列/前项和+J+2解:an=-7=3=!(n+2-G)+!+

7、22.*.Sn=_(V35/1)+_(V4V2)H(ys5/3)H(J+2n)2222=(V3V1)+(45/2)(V55/3)Hf(J.+2Vn)2=(+1+n-V2-1)六、并项法例如：已知S=2468+1012+(-D2”贝J$5+S2oS50=解：VS15=2-4+6-8+10-12+26-28+3()=(2-4)+(6-8)+(10-12)+(26-28)+30=(-2)7+30=16邑0=2-4+68+10-12+3840=(2-4)+(6-8)+(10-12)+-+(38-40)=(-2)10=-20同理S50=(-2)25=-50号5+S20-550=16+(-20)(-50)

8、=46相应练习:【巩固练习】1：已知数列4的通项公式为“二3-14,Sn为q的前11项和,(1)求力；(2)求U叫的前20项和。【巩固练习】2：求数列522232前n项的和.解：由题可知，2的通项是等差数列2n的通项与等比数列2的通项之积23222(错位相减)(设制错位)(1)Sn=-+得222223【巩固练习】3：求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.Mn七=M火+1)(2火+1)=2&3+3&2+火解：设八Sn=Nk(k+1)(22+1)为(2k3+3k2+k).=1=Jt=I将其每一项拆开再重新组合得23k、kSn=K=I*=*=2(13+23+)+3(1222+)+(1+2+)（分

9、组）w2(+1)2j(z+1)(2i+1)n(n+)22-2(+1)2(+2)2（分组求和）C1n=+【巩固练习】4：在数列an中，+1+1+1,又的和.12nnC1=+FH=一解：.+1+1+12bn=-r=8(-)+1nh+1.2,，数列bn的前n项和2C+1,求数列bn的前n项（裂项）Sn1+i)1（裂项求和）8i+T=O1og,%+kg3%0的值【巩固练习】5：在各项均为正数的等比数列中，若=9,求1og,“解：设S=103+Iog3+Iog36z10由等比数列的性质m+（找特殊性质项）（合并求和）的值.(n+1)(a-h+i)=8(i+1)(+1)(+3)(rz+2)(n+4)（找通项及特征）和对数的运算性质I%+1og.fog”MNSn=(1og31+1og310)+(1og3021og39)+(1og3a5+1og34)=(1og3110)+(1og329)+(1og356)1og391og39+1og39=108nan=z1v，求Z(+)(“-n+)【巩固练习】6：已知数列an：5+1)5+3)A=I（设制分组）8+(+2)(n+4)(n+3)(+4)4-()+8(（裂项）热+1)(%f)=咯(3一)+哆(系击)（分组、裂项求和）