在新导数定义基于增量函数而非增量比值函数的三角函数最简求导法.docx

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1、在新导数定义基于增量函数而非增量比值函数的三角函数最简求导法沈卫国内容提要：在笔者提出的新的导数定义的基础上，给出了一个不同于以往三角函数的求导方法，直观而简单。而笔者前期对三角函数的求导，基本上是纠正极限法微积分求导中对三明治定理运用上的问题的。关键词：三角函数；三角函数求导；正弦函数；三明治定理；新导数定义；增量函数；增量方程；增量比值函数；切线；圆弧笔者前期系列文章中，充分地指出了所谓第二代微积分的极限法求导之不能成立，并在此基础上给出过正确的三角函数求导法，但那里的求导只是顺着以往三角函数的思路在作，可以看成是对以往求导的一种崭新的解释。但按照笔者给出的导数新定义，我们完全可以根本不依

2、赖于三角函数的增量比值函数（要有分母上的自变量存在），而仅仅依赖三角函数的增量函数（没有分母，也自然没有了分母上的自变量）来求导。此法直截了当的多，也更容易理解。其基本思路仍旧是，三角函数曲线与一条直线的两个交点的增量方程，就等于这条直线（即割线）上该两个与三角函数曲线相交的交点的增量方程。二者实际是一回事。我们所欲求的，是该直线在两个交点合二为一时它作为三角函数曲线在某点的切线的斜率，也就是该切线系数。而完全不必涉及在其为切线时两个交点合为一点时的分母上的自变量的增量为0的问题，因为这与该直线（此时为切线）的斜率（切线方程的系数)的有无无关。只要直线，就必然有斜率，只要是切线方程，就必然有系

3、数。只取直线上的一个点，该直线的斜率作为直线的基本性质，也不会消失。以下具体来求。正弦函数曲线与过其上两个点的割线的共同的增量函数为S i n (x+h) -s i n (x) =2cos (x+hx) /2) s i n (x+h-) /2)-cos (x+h2) 2s i n (h2) =k (x, h) f (h)(1)此公式中运用了 “因子分解公式”(参见方源、王元微积分(上),P113)o公式中的h,就是自变量x的增量，写为也无妨。显然，当h二0时，两个交点合二为一，增量为0,(即1式左边为0),但我们前面已经说了，1式兼有两个“身份”，它既是三角函数的增量方程，也是其割线的增量方程

4、，二者在数值上是完全一致的。而我们所求，就是在割线变为切线时该切线的系数，也就是斜率。不去管什么增量是否为0。那么，1式可以看成是哪一个直线方程呢？事实上，1式中的最右边的k(h) f(h)中的f (h) = 2sin(h2),就是半径为1,角度为h的圆弧的弦长(参见任何数学手册)，弦当然就是直线。此时实际就是该圆弧的割线的“圆内段(见图)。只不过此时这个直线的长度(增量)本身也是h的函数罢了。于是，k(h) f (h)就是一个直线方程，f(h)相当于直线方程的自变量(不过此处它也是h的函数罢了)，而k(h)=cos (x+h2),则是该直线方程的系数，也就是斜率。当h=0时，1式为0=k(x

5、, 0) 0,正如前期系列文章所述，此时我们对增量为0不感兴趣，我们求的仅仅是该直线(此时为该正弦函数在x时的切线)的斜率k (x, 0)二cosxo按新的导数定义（曲线在某点的切线的常规意义的斜率），它自然就是正弦函数在X时的导数。上述求法，是最简单的一种求法。直接了当。当然如果我们一般化一些，把切线看成是一个无限长的射线，也是可以的。如此，我们可以把1式中的受约束的长度（可看成是增量）f （h）二2sin（h2）加以改造，使其成为f（r,h） = 2r sin（h2）,其中半径r可以无限制，而h1与h可以完全不同。这丝毫也不影响我们所求，因为我们求的仅仅是这条切线的斜率（系数），与其长度（

6、增量）根本无关。角度的增量h在下面的“示意图”中的切点A处等于0。但同是角度增量的h1没有这个要求。它实际可以是切线上任何两个点间距所对应的夹角。它与h毫无关系。h对应（依赖）于弦或割线与圆弧的两个交点，而%对应于该割线上的任何两个点。这个问题，可以对比二次函数下笔者给出的解释来理解。割线及最终的切线上的任意两个点间的长度增量（距离），在此问题中，其长度由f（r,h）二2r sin（h2）刻画，其中的变量为半径r与角度儿，它们都不受示意图中的那个具体圆形的约束。它们只是与切线上的任意两个点相关联。几点说明：表面上看，角度x为自变量。但由于此时涉及三角函数，而三角函数反映的都是在一定角度下直角三

7、角形各边之间的比值关系。也可以理解成纵、横坐标间的比值关系。特别地，如果我们设斜边长度为1,那么正弦函数sinx表示的就是纵坐标值（通常表示因变量，即函数），而COSX表示的就是横坐标值（通常表示自变量）。结合上面的讨论，可以给出一个示意图（图一）。图一 正弦函数新求导方法示意图此图中可以清楚地看出各个变量之间的关系。DA线段，就是割线的圆内段。DE与EA,分别就是此正弦函数的增量的纵、横坐标。当角度的增量h=0或T 0时，DE及EA的长度分别等于0,割线与圆周的两个交点在A点合二为一，该割线变为圆在A点的切线，其斜率k (x, 0)就是两个线段之比AB/BC,即cosx/s i no这是由于

8、三角形ABC,相似于三角形GBA,这通过简单的几何知识就可以得出：角GAC为90度，三角形GAB与三角形GAC又共用顶角AGB (角度为x),自然角BCA就只有等于角GAB,于是三角形GAB与三角形GAC与三角形ABC都是相似三角形。角B (就是角CBA或角GBA)为90度，角C (就是角BCA)等于角GAB (见前面的讨论)，则必有角BAC等于角BGA,角度的数值都是xo于是，cosx sinx= GB/AB=ABBCo注意，我们现在求得的切线斜率k (x, 0)二cosx sinx,是示意图所示的直角坐标系中的值。当圆的半径为1时，该直角坐标系的横坐标为cosx,纵坐标为sino但我们现在

9、真正所要求的是sinx对x的导数，也就是自变量应该是x,因变量是sinx,这个坐标系应该是横坐标为角度值x,纵坐标为sinx。于是，如果一个函数为cosx/sinx,另一个函数为sinx,则按复合函数的法则，就有(cosx/sinx) (sinx)= cosx o此即横坐标为角度值x,纵坐标为s inx的直角坐标系中的函数sinx在x点的导数，即切线斜率。参见图二。y = cos X）周期 2r图二 正、余弦函数的图像（此图复制于方源、王元著微积分（上）以上基于新导数定义的对正弦函数的直接求导，为笔者首创。笔者前期论文中三角函数的求导，基本上是指出传统极限法微积分三角函数的求导由于对三明治定理

10、的使用不当，因此不成立。而基于新导数定义，在新的诠释下，传统证明得以挽救（详见前期笔者系列文章）。而此处给出的求导方法是不需要分母的、最直接了当的。实际上，细心的读者也许马上就可以看出来，由于圆的特殊性,也就是圆周上任何一点的切线与其过A点的半径是成直角的，因此通常的由割线出发再“二点合一”到达切点的程序是完全不必要的。按照导数的新定义“导数就是函数在某点的切线斜率”，我们完全可以直接由圆周上A点的切线在此系统中的几何关系求其斜率：根据前面关系图一中各角之间的关系，显然角BAC也是x,因此切线的斜率就是 AB/BC =(cosx/AC) / (sinxAC) - cosxsino 与前面同理地

11、，转换成自变量为x的函数，则有(cosxs inx) (sinx)= cosx o这个求法显然更加直截了当。利用了圆的切线的固有性质。至于与A点的切线平行的诸多弦长(割线)，我们完全可以根据前面给出的求弦长的公式给出。事实上，如果我们把公式1中的弦长公式f(h)=2sin(h2)中的角度h不看成图一中的x角度的增量，而是看成以A点为中心的每边h2,同时图一中的斜率k (x, h),此时为定值，就是cosx。因为这种重新定义了的角度增量h,对弦线的斜率已无影响，它们都与A点的切线斜率相同(为平行线)。因此实际上此时的k (x, h)=K,为常数。以上最简三角函数sinx的求导，可以省去不少笔者对

12、传统sinx求导法的诠释或更正。更会减轻对一般人而言理解上的麻烦。那里(见笔者相关文章)需要把以往被广泛认为是等于1的sinx/x的x0时的极限值，指出这个极限实际就是直观的0/0,因此不成立。而我们实际求出的只能是sinx=k (x) x1,及其割线方程，在比式 k (x) 1x1 = k (x) 1/1 = k (x)在 x =0 或 x10 时的 k(0)o这种解释，对于已经对整个理论的来龙去脉了如指掌的笔者而言当然不在话下，但对初次接触此问题的读者，可能有些困难。但按前面的直接基于圆的切线斜率的求导方法，则要好理解的多。此外，这里要说明一下，由于圆周上的切线是属于圆周的，与三角函数比如

13、正弦函数sinx有什么关系？这是因为在图一的坐标系中，sinx就是圆周的纵坐标，可以视其为就是函数值，而横坐标为COSX,可视为是自变量。如果我们求COSX的导数，则反过来。此时cosx=s i n ( /2 - x)就是纵坐标即函数值了。此后的操作众所周知，任何教科书中都有，此不赘述。(sinx) x在T0时的极限问题传统微积分把这个比式的极限，当成三角函数求导的首要问题。比如sinx是求导，就要使用这个结果。但是，如果我们把自变量x相对于x = 0点的增量x - 0就写成传统的Ax,即4x = x - 0 = x,则(sinx) x在T0时的极限问题，就是sinx在x=0点的导数值问题。即

14、有：sin(O + x) - sin(x - 0)在x-0时的极限问题。比较这个极限式子与(sinx)x可以发现，前者就是后者。SinO = O,0 +x=x, x - 0 = x,代入后得到。我们根据前面不需要sinx/x在T0时的极限已经得到了 sinx的导数为cosx,于是，把x = 0直接代入后就得到cosO=1。即传统上认为的(sinx) x在T0时的极限值为1。但按笔者给出的导数新定义的诠释，仿照二次函数的情况可知，(sinx) x在T0时的极限值与其函数值一样，就是0/0。真正我们需要的导数值是不依赖与sinx曲线上的两个割点的其切线上的任意两个点。而只要点在曲线上，二点合一变为

15、切点时，增量比必有0/0。不为0/0的增量比是由切线上的任意两个点决定的。对于传统上求(sinx) x在XT0时的极限问题时的失误，笔者曾经专文讨论过。要点是第一，三明治定理的“故意”错误使用问题。三明治定理各项间使用的明明是(等于小于)，可在证明中却故意用“V”。这绝不是无心之失，就是故意的。因为显然，如果等号掺乎进来，分母为0的问题不好处理(详见笔者以往文章分析及方源、王元微积分(上)相关内容)，于是最后实际上会得到0V0V0这样的式子。第二，夹在三明治定理著名的三个不等式中间项的那个sinxx,实际上应该是 sinx/x = k (x) xx, x/x = 1/1 - 1, 1 消去后(或不消去也)不再随X而变化，说明式子中的三个X根本就不是同一个变量，严格地，应该是x1x1 = 1/1 = 1,以示与x变量的区别。于是，实际在三明治定理中的，是k (x),完全仿照二次