02 应用公式+林经武.docx

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1、2应用公式将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式，常见的有七个公式:(1) cr-tr=(+方)(a-b)；(2) a3+尸=(+0)cr-ab+1r)；(3)/一护二(一引(/+)；(4) 4+2力+济=(4+6)2；(5) a1-2ab+tr=(ab)2；(6) 03+30+3而2+b3=Q+b)3；(7) a3-3a2b-3ab2b3=(ah)3.以上公式必须熟记，牢牢掌握各自的特点.2.1平方差七个公式中，公式(1)(即平方差公式)应用得最多.例1分解因式：9(?一)24(?+)2.解原式由两项组成，这两项符号相反，并且9(m)2=3(mn)2,4(m+)2=2(w+w)2,因此

2、可以应用公式(1),得9(w-Zj)2-4(wn)2=3(mn)22(w+n)2【应用公式(1)1【合并同类项】=3(mn)2(w)3(mm)2(mn)=(5m-)(m-5).例2分解因式：75,-1W解【首先提取公因式】【熟练后这步可以省去】【应用公式(1)1756y-12r2/=32y(25-4j,4)=32j(52)2-(2j2)2=32j(52+2j2)(52-2j2).例3分解因式：-(302-5)2+(52-3)2.解(3cr2-5Z2)2(5a23/)2=(53/)2(3/-5/)2=(5a23b2)(32-5Z2)J(5a2-3h2)-(3tz2-5?2)【应用公式(1)】=(

3、8/城)(2+2从)【合并同类项】=16(/力2)(2+/)【提公因式】=16(+Z0(-6)(*+).【应用公式(1)】例3表明在因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式，直到不能继续分解为止.2.2 立方和与立方差例4分解因式：95-72Y解9-72r=92(x3-8)【提公因式】=9fx3-(2y)3【应用公式(3)=9f(-2y)(x2+2xy+4y2).例5分解因式：求+.解a+a=(a2)3+2)3=(+)()2-4加+彷2)2【应用公式(2)=U2Z2)(a4-a2b2-b4).公式(2)、(3)中的符号极易搞错，务必引起注意.2.3 完全平方例6分解因式：92-24xy+16/

4、.解原式由三项组成，第一项9f=(3x)2,第三项16y2=(4y)2,而23%4y=24孙，与中间一项只差一个符号，因此可以利用公式(5),得92-24xv+16y2=(3-4j)2.这样的式子成为(完全)平方式.不是*方式的二次三项式，通常用十字相乘法分解，请参看第5单元.例7分解因式：8-4a2-4.解首先把原式“理顺”，也就是将它的各项按字母。降昂(或升幕)排列，从而有8a-402-4=-4a2+8A-4=-4Q2-2+1)【提公因式】=-4(a-1)2.按某个字母降得排列是一个简单而有用的措施(简单的往往是有用的)，值得注意.例8分解因式：4/+9及+9c2-186c-12c+12b

5、.解我们需要引入一个公式，由乘法可得(Zc)2=d22c22t72c2ca,即若干项的和的平方等于各项的平方与每两项乘积的2倍的和.上面的式子可写成d+2+C2+2。力+2bc+2c”=(+h+c)2.(8)这也是一个因式分解的公式.联系到例8就有4029b19c21Sbc12c+I2ab=(2)2+(3W2+(-3c)2+2(3W(-3c)+2(2)(-3c)+2(20)=(2+3b-3c)2.显然，公式(4)是公式(8)的特殊情况，当C=O时，公式(8)就简化成公式(4),公式(5)也是公式(8)的特殊情况.另外，在公式(4)中将b换成一儿公式(4)就变成公式(5).不难看出，公式(2)与

6、(3),(6)与(7)也有同样的关系.2.4 完全立方例9分解因式：8+27/+36+54x.解8x3+2736x2y54冲2=8+36y+54+27y3【按K降塞排列】=(Zr)3+3(2x)2(3y)+3(2x)(3y)2+Oy)3=(2x+3y)3.【应用公式(6)例10分解因式：729。6243/+27/-1.解7294243/+2741=(9q2)3-3(9/)2+3(9c2)I2-I3=(941)31应用公式(7)=(31)3(3f1-D3.【应用公式(1)】在应用公式(6)、(7)时，需要判明原式是否符合条件，即它应由四项组成，有两项是立方：/与护(或一方3),另两项应当是3a2

7、,(或一3/6)与这些要求不太容易满足，因此直接应用公式(6)、(7)的情况是比较少的.但是，如果遇到了也不可失之交臂.相比之下，完全平方用得较多，人们常常用它来证明一个式子的值是非负的.2.5 问一知三例11分解因式：a6-b解小可以看成平方：O6=(f13)2,也可以看成立方：O6=(/)3,于是aa的分解就有两条路可走.第一条路是先应用平方差公式：a6-b6=(f13彷3)2=(4+/)征一/)【应用公式(1)=(?)(cr-ab-b2)(ab)(a2+ab-b2).【应用公式(2)(3)】第二条路是从立方差公式入手：a6b6=(f12)3-彷T=(a2-b2)(d4+2+Z4)【应用公

8、式(3)=+b)(a-h)(a4+a2b2+b4).【应用公式(1)】采用两种方法分解，获得的结果应当相同.因此比较(GZ?)(a2-ah+b2)(ah)(a2-ab-h2)与(a+W(a-b)Q4+02+),我们知道/+/护+/不是既约多项式，并且有a4+2+Z?4=年+他+从)(/一岫+6).(9)及a6-b6=(a-b)一垃(cr+ab+b1)(02-b+庐)(10)于是，从/一吩的分解出发，不但得到(10)式，而且知道/+/+/不是既约多项式,导出了(9)式，可谓问一知三.在第4单元中，我们还要介绍导出(9)式的另一种方法.2.6 21984+1不是质数例12求证2楔4+1不是质数.证

9、明为了将2a4+1分解因数，我们需要知道一个新的公式，即在为正奇数时a,+bn=(a-b)(a,ti-an2b-a,1ib2,)(11)(11)式不难用乘法验证，将右边的两个因式相乘便得到/+夕.现在我们有2,984+1=(264)31+pi=(264+1)(264x30-264x29+-2m+1).264+1是2984+的真因数，它大于1,小于2984+1,所以2984+1不是质数.用这个方法可以证明：当有大于1的奇数因数时，2+1不是质数.与(11)式类似，由乘法可以得到在为正整数时/一=(-b)(/1+/-28+/-3/+-2+夕I).(12)这也是一个有用的公式.例13分解因式：x5-

10、1.解A5-I=(X1)(4x3x2x1).公式(3)是公式(12)的特例，公式(2)是公式(11)的特例.请注意公式(12)对一切正整数成立，而公式(11)的适用范围只是正奇数.小结“一提、二代”中的“代”就是指“应用公式”(代公式).在这一节介绍了公式(1)(12),其中(1)(7)必须牢记，公式(1)尤为重要.做题时，应当根据具体情况选用公式.习题2将以下各式分解因式：1、16(3+2b)2.2、4j2-(2zx)2.3、a4h4,4、-81/+6c45、2003-45r/.6、(302护)2-(2-3一)2.7、X8-/.8、16x5-X.9(522x-3)2(X22-3)2.10、3

11、加3护一4.11、8W-1.12、64+y,5.13、x1(a-b)2-2xy(a2-tr)r2(-Z?)2.14、m+2+8+16,2.15、92+j,6+2,+16f1,+1.16、a1t2+ci-2ab-2ac2bc.17、29j24z2-6x,4z-12yz.18、(p+q)3-3(p+q)2(p-q)+3(p+g)p-q)2(pq)319、402一(a2+b2)2.20、(4+x)4-(一)4.习题21. (4+3+2A)(43a2b)2. (2x+2z-)(2y-2z+x)3. (a+b)(a-b)(02+Z2)4. (2c+3而)(2c-3加(4c2+9a2)5. 5ar(2x3y)(20r-3y)6. 8(+b)(。一b)(02+从)7. (-y)(x+y)(+y2)(x4+/)8. x(2-1)(2x+1)(4-2+1)9. 24(x-1)(+D210. 4%2。一/)(42+2加+的11. QabC-1)(4%2+20bc+1)12. 炉(4+)，4)(16-4xV+y8)13. (OX+加一4y+切)214. -2(+4)215. (3+1+1)216. (?+/c)217. (-3y+2z)218. 319. 一(。+力)2(-6)220. 8xU2+x2)