03 含字母系数的一次方程+盛锦录入.docx

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1、3.含字母系数的一次方程.ittookmenaboutfivethousandyears,countingfromthebeginningofnumbersymboIs,tothinkofasymbo1fornothing.从产生数的符号算起，到想用一个符号来表示“无”，足足花了人类约五千年的时间.阿西莫夫(摘自阿西莫夫论数)适当地使用字母，可以使问题简化，规则变得明显一单博(摘自解题研究第22页，上海教育出版社)在第2讲中，我们主要讨论了一元一次方程方=b(0)的求解，这里人是给定的数，知道了关于X的方程在a0的情形下方程的解为X=-.a方程G=b又称为含字母系数的一元一次方程.方程以=b对

2、于=0和6=0可变形为Qx=O,这表明X有无数多个值满足此等式，即方程有无数多个解；对于。=0,且bw,方程变形为0x=b,此等式不成立，这表明方程无解.因此，方程以=力解的情形为：时方程有唯一解，为x=2,=o且=0时方程有无数多a个解，=0且b0时方程无解.利用上述结果可以方便地求解若干较为复杂的含字母系数的一元一次方程.例1解关于X的方程：J-=2r+1.基本思路移项转化为AX=3的形式，利用平方差公式分解4/一1,然后讨论字母不同取值下方程的解的情况.解移项得(2a+I)X=4片一1.利用加2-i=(2-i)(2a+1),方程又可变形为(2a+1)x=(2-1)(加+1).当2+10时

3、，x=2a-,即当,时方程的解为=加一1；当2+1=0时，OX=O即2。=一1时方程有数多个解.2故。-1时，方程有唯一解，为X=勿一IM=-1时，方程有无数多个解.22例2解关于X的方程(1-x)=3+1.基本思路仿照例I变形方程.注意不要漏掉方程的解的讨论情况.解原方程变形为W?-z=,n+.移项得(/H?+X=机？-1,w(w+1)x=(z?-1)(m+1).n1当机0且团工一1时，方程的解为X=；m当机二O时，原方程变为Ox=-1,方程无解；当机=T时，原方程变为0x=0,方程有无数多个解，其解为任意数.n-故20且z-1,方程有唯一解，为X=；机=0时，方程无解；加=一1时，方程有无

4、m数多个解.例319个糖果盒排成一列，正中间的盒子放。个糖果.从这里向右，每个盒子比前一个多加个糖果；从这里向左，每个盒子依次比前一个多个糖果(小川，都是正整数).如果糖果的总数是1995个，且36.求式的值.基本思路按题设得到糖果总数为19a+45m+45,然后利用因数分解及整除性，求得结果.解由题设得糖果总数为+(+m)+(+2机)+-+(+9团)+(+)+(+2)+(+9)nm+9mnw+9?i.ct、=19+-X9HX9=19。+45(加+).又19a+45(?+M=1995,侧有19。=19x105-45(/+)，45x(/?+77)=10511945x(z+)因为G小，均为正整数，

5、19是质数，所以加十九一定是19的倍物但一须小于105,19从而有tn-n=19得。=60；77+m=192,得=15.又题设中生36,所以。为60.关于X的方程”=b逆向思考，我们可以有如下结论：若方程有唯一解，则0;若方程有无数多个解，则。=0,且8=0；若方程无解，则。=0,且b=0.例4若而C=I,解方程1ax2bx2cx,=+=1b+1bc+b+ca+c+基本思路注意到+中每项含有。，则尝试将1代换为。机，这样可以简化式子二幺一：同样的，将。尻、代换为1,可变形式子ab+a+abcb-sr-+bc=，从而简化方程式求得结果.c+c+1abc+bc+bbc-b+解利用曲c=1,可将原方

6、程变形为fIax2bx2bcx1+=,ab+a-abcbe-b+abc+bc+b2(1+Z?+Z?c)xbe+b+2x=1,za1得x=-2故方程的解为X=1.2例5若一元一次方程Or=人有两个不同的解不和七，求证：这个方程必有无数多个解.证明由题设内，占都是方程=%的解，得的=力02=8.于是-ax1即(x1-2)=O.又因为XJX2,所以必有=0.从而b-ax=Ox1=O.由于。=0且=0,所以方程以=人有无数多个解.说明例5告诉我们，如果一个一元一次方程，只要有两个不同的解，那么它必有无数多个解.习题31解关于X的方程OX+1=fer2已知关于X的方程痴(五+3)=9x+4无解，求用的值

7、.3解关于X的方程(Or-3(+%)=0.4解关于X的方程二+上=1(wO,H).ab-aa+hx,5设。为整数，已知关于X的方程W=依+1既有一个正根又有一个负根，求。的值.答案1 .。孙时，方程的解为x=一;=方时方程无解.b-a2 .方程变形为(93r)x=9?-4.当93机=O时，W=3,9/?4=230,所以在3时方程无解.故机的值为3.3 .原方程化为（+b）x=b（a+力）.当+60且白0时，方程有唯一解，x=-；当+厚0,且。=0时，得厚0,方程无解；当+b=O时方程有无数个解.4 .厚0时，x=aba;方=0时，方程无解.ba+b）5 .当Qo时，方程变形为（1一。）x=1,

8、要使方程有正根，则/一。必须大于0,即1一公0,得以1.从而推知“1时方程有一个正根、=一.当x一1时方程有一个负根X=二1,所以当+aV7时，原方程既有一个正根又有一个负根.又因为。为整数，所以符合题设的=0.心智体操学会表述从前，有个人财大气粗，自命不凡，认为有钱能使鬼推磨，从没有办不成的事.但他肚子里缺少墨水，说起话来随随便便，从不考虑，就轻易出口.为此他得罪了很多人，朋友越来越少.有一天，他设宴请客，桌上摆满了鸡鸭鱼肉，山珍海味.来宾倒也不少.但他一看，却有几个重要的人物还没有到场，就不假思索，自言自语道：“该来的怎么还不来呢?”在座的客人们一听，心里凉了一大截，心想：照他这么说，我们是不该来的喽！于是有一半的人连招呼都不打就走了.他一看，这么多人不辞而别，便着急地说：“啊！不该走的都走了.“剩下的人听了，心里好不生气，“他这么说，是当着和尚骂秃贼.这么说，我们是该走了!”于是，又有三分之二的人不告而别.一看这阵势，这位东道主急得直拍大腿：“这，这，我说的不是他们啊!”剩下的三个客人听了，心里着实不是滋味，“不是说他们，那当然是说我们了.”于是，二话不说，也都气冲冲地打道回府了.结果，宾客全都跑光了，只剩下主人一个人干着急.你知道这位愣头愣脑的“马大哈”主人在说第一句话之前，己经到了多少客人吗?