10 轮换式与对称式+郑梦前录入.docx

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1、10.轮换式与对称式对于、y的多项式：x+y,xy,x2+y2yxi+yx2y+xy2,(1)在字母X与y互换时，保持不变.这样的多项式称为X、y的对称式.类似地，关于X、y、Z的多项式：x+y+z,x2+y2+z2,xyyz+xz,x3+y3+zx2y+x2z+y2z+y2x+z2x+z2y,xyz(2)在字母x、y、Z中任意两字母互换时，保持不变，这样的多项式称为1、y、Z的对称式.关于小y、Z的多项式：x+y+z,x2+y2+z2,xy+yz+xz,x3+y3+zx1y+y2z+z2x,2+yz2+yz2,xyz(3)在将字母1、y、Z轮换(即将工换成八把)，换成z、把Z换成x)时，保持

2、不变，这样的多项式称为X、)，、z的轮换式.显然，关于x、y、Z的对称式一定是x、y、Z的轮换式.但是，关于小y、Z的轮换式不一定是X、八Z的对称式.例如，Wy+Jz+z2就不是对称式,次数低于3的轮换式同时也是对称式.两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式).轮换式(对称式)反映可了数学的美，它们的因式分解也是井然有序，可以按一定规律去做.10.1典型方法例1分解因式：x2(y-z)y2(z-x)+z2(x-y)解：x2(y-z)y2(z-x)+z2(x-y)xy.Z的轮换式.如果把f(y一z)+)J(z)+z2(-y)看作是关于X的多项式，那么在

3、x=y的时,它的值为y2(y-z)+y2(z-y)+z2(y-y)=0,依据第8单元,x-y2(y-z)+(z-)+z2(x-j)ftSi,T2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y、Z的轮换式，因此厂z、z-x也是它的因式，从而它们的积(x-y)(y-z)(z-x)是/(y-z)+y2(z-%)+z2(-y)(5)的因式，由于(4)、(5)都是x、y、Z的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数攵，即有：x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=k(x-y)(y-z)(z-x).(6)现在我们来确定常数2的值，比较(6)两边Vy的系数：左边系数为1,右边系数3.因此依T.2(y-z)

4、+y2(z-)+z2(-y)=-(-y)(y-z)(z-).例2分解因式：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)解：/e-c)+3(c-)+c3(叱)是关于、b、c的轮换式.与例1类似，它有三次因式-C)(C-).由于原式是八b、C的四次式，所以还应当有一个一次因式.所以这个一次因式也是八b、C的一次齐次式，即它的常数项是O(否则，它的常数项与三次-C)(C-G相乘得带到一个三次式).这个一次齐次式是。、氏C的轮换式，它的形状应当是2(+b+c),k是常数，即有：ay(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a+b+c)a-b)b-c)c-a(7)比较两边%的系数，得=-1.于是

5、3(b-c)+b3(c-a)+c3(-b)=-(+b+c)(-6)(b-c)(c-),上面求A的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使3+c)(-b)(b-C)(C-H)HO的数代替a、b、c,从而定出h例如，令=2,b=1,c=0把它代入(7),得82+0=&3(-2),k=-.以上两种确定系数的方法可以结合起来使用.例3分解因式：(+b+c)-(Z+c-op-(c+4-b)-(+-c),解：在近0时，原式的值为(b+c)3-(c)3-(c-b)3-(Z,-c)3=O,所以C1是原式的因式.由于原式是a、力、C的轮换式，所以6、C也是它的因式，从而有：(+b+c)3-(+c-a

6、)5-(c+6i-Z?)3-(a+b-cyf=kabcf(8)其中&是待定系数，令所加11,得33-13133=攵，所以右24,所以：(+b+c)3-(ib+c-a)3-(c+a-by-(a+b-cyf=24abc,在(3)中列出的各式称为基本轮换式.每一个轮换式都是由它们组成.例如：一次齐次的轮换式是：/(%+y+z);二次齐次的轮换式是：/(x2+y2+z2)+w(+yz+zx)；三次齐次的轮换式是：/(x3+y3+z3)+rn(jry+y2z+z2x)+n(xy2+yz2+zx2)+kxyz.这里/,见次都是待定的常数.10.2 齐次和非齐次例4分解因式：(y-z)5+(z-x)5+(x

7、-y)5.解用上面的方法易知原式有因式(x-y)(y-z)(z-x).因为原式是小y、Z的五次齐次轮换式，所以还有一个因式是二次齐次轮换式，我们设(y-z)+(ZT)5+(x-y)5=(X-y)(yz)(z-x)(x2+y2+z2)+w(xy+yz+zx)J(9)令尸2,尸1,z=0t得1-321=-2(5+2w),即5+2z=15(10)令AF1,)匚0,z=-1,得1-32+1=-2(2/-团)，即21-m=15(11)由(10)、(11)这两个方程，解得P=帆=-5于是(y-z)+(z)+(x-y)5=(x-y)(-z)(z-x)5(+y2+z2)-5(xy+yz+zx)=5(x-y)(

8、y-z)(z-x)(x2+y2+z2+xy+jz+zx)在例4中，任给一组工、y、Z的值(当然是(x-y)(y-z)(z-x)0),都可以得到(Io)或(11)的方程，以较小的值代入为好.在例4中，如果注意到(y-z)5=ys-5y4z+,那么比较(9)式两边y?z的系数，可以得-5=T,再结合(10)、(11)中的任一个，可以得出加二5,这种做法更简单一些.例5分解因式：a-b5-(a-b)5解原式在小b互换时变号，它们不是a、b的轮换式(二元的对称式与轮换式是一致的).但是，如果记-b为c,那么原式成为(+c)5,是0、C的轮换式，因此也可以采用前面的方法处理，不过要注意到，更简单的方法是

9、例4中令yZ=WZT=C=,那么x-y=b-,a5-b5-(a-b)5=(y-z)+(z-x)5+(-y)5=5(x-y)(y-2)(z-x)(x2+/+z2xyyz-ZX.、(x-y)2+(y-z)2(z-x)2/、a2+b2+(b-a/,2二5叫。)D1=5ab(a-b)1=5ab(a-b)a2+b2-ab)由此可以看出，做题的时候应充分利用已有的结果.例6分解因式：(y2-z2)(1+y)(1+Xz)+b2-2)(+yz)(+y)+(2-y2)(+zr)(+w)解这是小y、Z的轮换式.容易知道它有因式(y-z)(z-力(工-)，)，但是另一个因式是什么？原式并非齐次式.为了便于处理，我们

10、按照次数把它整理一下.由于(1+xy)(1+z)=yzx+x(y+z)+1所以：(y2-z2)(1+xy)(1+z)+(z2-x2)(1+yz)(+yx)+(x2-/)(1+zx)(1+zy)=zx(-z2)+y(z2-x2)+z(x2-)+(-z2)+(z22)+(2-,2)+Myz)(-z2)+Xz+x)(z2-2)+z(x+?)(2-V)=xyzx(y2-z2)+y(z2-x2)+z(-/)+x(j+z)(y2-z2)+y(z+x)(z2-x2)+z(x+j)(x2-/)于是，例题中的非齐次式化为两个齐次式的和，用前面的方法可得齐次式x(y2-z2)y(z2-x2)+z(x2-y2)=(

11、x-y)(y-z)(z-x),x(y+z)(y2-z2)+y(z+x)(z2-x2)+z(x+j)(x2-)=(x-)(y-z)(z-x)(x+y+z).所以得(丁2-22)(1+召)(1+电+卜2-刁(1+产+/)+卜2一,2)(+音)(+切二(x-y)(y-z)(z-x)(2+x+y+Z)10.3 (Ti+Z73+3chc例7分解因式：a3+h3+ci-3ahc解在=-S+c)时，有a3+b3+ci-3abc=-(Z+c)s+Z3+c3+3bc(b+C)=-(护+3h2c+3bc2+C3)+h3+3b1c+3bc2c3=O所以0+6+c是a+Z+/-3人。的因式.显然，a3+hi+c3-3

12、abcab、C的三次齐次轮换式,我们ia3+Z?3+c3-3abc=(a+Z?+c)gJ+y2-+c2j+z(a,+be+c)(12)比较两边U的系数得/=1,比较血的系数得-3=3桃即机=-1,所以d,+h3+ci-3ahc=(a+b+c)+b2+c2-b-bc-c(13)有时候我们把(13)写成a3+b3+c3-3abc=-(a+b+c)a-b)1+(Z?-c)2+(c-)2(13,)(13)与(13)可以作为公式来使用.例8分解因式：(a+b-cyf+(+c)cJ+b2+c2-ab-be-司本题的结果表明/+b+(?-为儿?中的a、b、C分另IJ用a+O-c、b+c-ac+-b代替后，所

13、得的式子为原来的4倍.从(13)可以看出，如果4+b+c=O,那么d+3=羽办。，这也是一个有用的结论.例9分解因式：(y-z)+(z-x)3+(x-y)3.解因为(y-z)+(Z-X)+(x-y)=O,所以(y-zj+(z-x?+(x-y)3(y一Z)(ZT)(x-y).10.4 焉用牛刀例10分解因式：-X3-/-z3+X2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-2xyz.解在x=y+z时有,原式=-(y+zp-V13+(y+z)3+y2(2z+y)+z2(2y+z)-2yz(y+z)=-+(2z+y)+-Z3+Z2(2y+z)J-2(z)=2y2z+2z2x-2y2z-2z2y=0所

14、以，x-y-z是原式的因式.由于原式为x、y、Z的三次轮换式，我们设-X3-y3-Z3+X2(y+z)+y2(z+x)+Z2(x+y)-2xyz=k(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)比较的系数，得Z=T,即原式=-(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)=(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z).例11分解因式：x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2+3xyz.解这个三次式如果能分解，那么它必有一次因式，这一次因式式齐次的轮换式，即x+y+z.把X用-()，+Z)代入后原式为0.不过没有必要去验证这一点，因为原式不难直接分解.由X2y+xy2+xyz=孙(x+y+z)y2zjz2+xyz=yz(x+y+z)z2x+zx2+xyz-zx(x+y+z)可得：x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2+3xyz-x+y+z)(xy+yz+zx).杀鸡焉用牛刀！特殊问题可以用特殊的方法处理，并不是没一道题都非得用一般的方法去对付不可.10. 5整除问题例12证明：92+C?-+/