15 梯形+孙涛.docx

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1、15梯形有且仅有一组对边平行的四边形称为梯形.平行的一组对边分别称为上底与下底，不平行的一组对边称为腰.两腰中点的连线称为梯形的中位线.上、下底之间距离称为梯形的高.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.梯形的面积公式S梯形二；（上底+下底）高梯形有如下几条重要性质：性质1梯形的两条对角线的平方和等于两腰的平方和加上两底乘积的两倍.性质2对于梯形ABCf,AD/BC,连结对角线AC、8。相交于0,则有=，V=qQ-QuR4D一uCDUMO8-uCW*性质3梯形的两底中点的连线（即中线）长等于两腰平方和之2倍与两底差之平方的差的平方根之半.=y2（C2+D2）-（A-DC）

2、2.性质4（梯形的施坦纳定理）梯形两对角线的交点与两腰延长线的交点的连线必平分梯形的上、下底.事实上，如图157,设梯形ABCo的对角线交于点E,两腰的延长线交于点八直线E尸交于AB于点N,交CD于点M.注意到AB/DC,则由DMMEMCDMMCG=,有=NBENANNBANDMFMMC*DMMC小ANFNNBANNB由，两式相乘、相除即知DM=MC,AN=NB.图51处理梯形问题时，有时通过添加辅助线把梯形转化成平行四边形或三角形.如：在梯形内或外平移一腰得平行四边形，或延长两腰得三角形；过梯形上底顶点作梯形的高得直角三角形或矩形；平移对角线得平行四边形等.两腰相等的梯形称为等腰梯形.等腰梯

3、形还有下述性质：两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等；是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线.等腰梯形的判定，除了定义之外，还可先证明是梯形，再证同一底上的两个角相等，或两条对角线相等.有一个角为直角的梯形称为直角梯形.例1已知一个梯形的四条边的长分别为1,2,3,4,则此梯形的面积等于（）.A.4B.6C.82D.23（2000年全国联赛题）解：选D.理由：以1,2,3,4为边长作梯形只有以下六种可能：（1）以1,2为底；（2）以1,3为底；（3）以1,4为底；（4）以2,3为底；（5）以2,4为底；（6）以3,4为底,易知只有（3）才能构成梯形，其他情形都不能构成梯形.如图15-

4、2,设在梯形48CQ中，AB=3,BC=4,CD=2,DA=.过4作BC于”，作A七。交8C于E,则4BEA为等腰三角形（84=8E）.由得H=32-I2=/2故sABCD=(,4)=y2.图152例2梯形的两底角之和为90,上底长为5,下底长为11.则连结两底中点的线段之长是（）.A.3B.4C.5D.6（1996年安徽省部分地区联赛题）解：选A.理由：如图15-3,设梯形ABCo中，ZA+Z=90,AB=11,CZ）=5,G、H分别为C。、AB的中点.过C作CC/DN交AB于C,则有N+NB=90,知NGCB=90.设CE为斜边GB上的中线，CE=BC1=1（11-5）=3.又G、”分别为

5、。C,A8的中点，则=-8E=5.5-3=2.5=CG,从而知CGHE为平行四边形.故GH=CE=3.图15-3例3在梯形ABCO中，力BCO,A8=38,E是对角线AC的中点，直线BE交Ao于巴则AF：FD的值是（）.53A.2B.-C.-D.132（1996年黄冈地区竞赛题）解：选C.理由：如图15-4,过。作CG尸交的延长线于G由A8CO,CG/BF,WDGDC1又由CG8RAE=ECt得A/=FG,于是，FD=2DG.例4如图15-5,ABCO为梯形，一条直线与DA的延长线，AB.BD、AC.CD、8。的延长线顺次交于点E、尸、G、H、KJ.若EF=FG=GH=H1=IJ,则Ao:8C

6、=.（1998年上海市竞赛题）I1MBJ-CJBC从而=AEAE10hAE3即=一3BC10同样,BJ3ED2CJ1ED4从而BJ-CJEDBC=EDhED4即=-BC5由,得像AD5BC102例5如图15-6,在梯形ABC。中,48。CA4=8,BC=6,N8CZ）=45,NBAO=120,则梯形ABCD的面积等于.（2000年全国竞赛题）解:填66+65.理由：过8作BE_1OC于E,过A作AR1oC于E因BC=61N88=45,故跳:=Ec=A尸=6.因NZMF=N30,故DF=2下.于是S梯形ABeD=g(A8+。尸+FE+ECA产=66+66.例6如图15-7,四边形ABCO是梯形，

7、点E是上底边A。上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F.过点作BA的平行线交CD的延长线于点MtBM与AD交于点M证明：ZAFN=ZDMe(2007年全国联赛题)证明：设MN与EF交于点P,如图15-7.PNpp由NE8C知aPNEsP8C.所以H=W,即PRPE=PN,PC.PBPCPMPC同理，PRPE=PM.PF.所以PNPC=PMPF,即P1=1k.PNPF又ZFPN=ZMPE,有APNEsdPMC,则NPNF=NPMC.从而NF/MC,有ZANF=ZEDM.又BR则？W=NAffiD,即有ZANF+ZFAN=ZEDM+ZMED.WZAFN=ZDME例7如图15-8,在四边形A8C

8、。中，E、尸分别是边AS、CQ的中点，P为对角线AC上的任意点,P户交4。于点MPE交BC于点交MN于点K.求证:K是线段MN的中点.（2008年江西省竞赛题）图158证明：如图15-8,在P尸上取点G,使G尸=F)W,连结CG,则CGQM,又取CA的中点1,连结GM1E.1F,则1E、1尸分别为aABCAACO的中位线，有1尸A。，1E/CB,得NGCN=NF1E,=1FP11E从而ACNGsA1EF,有NGEF.于是，bK是aMNG的中位线,故K是MN的中点.例8如图15-9,在梯形ABeo中，ADBC,AC1DB,AC=5,NOBC=30.（1）求对角线8。的长度；（2）求梯形ABCQ的

9、面积.（2008年四川省竞赛题）图69解：（1）过A作AE。区交CB的延长线于E由ACJAE。8知AC_1AE,ZAEC=NOBC=30.即以为直角三角形，即有EC=2AC=10,即有AE=JEC*-AC?=5技又4Q8C且AE。&知四边形AEBQ为平行四边形.ZKDB=AE=53.（2）记梯形48CQ的面积为S,过A作AE1BC于凡则?1尸E为直角三角形.由NAE=3(,知A尸=gAE=,即梯形的高为G.又四边形AEB。为平行四边形，则AD=母故sS(ao+8O4ecae*k)例9如图15-10,在直角梯形ABCO中，NABC=NBAD=90,AB=16,对角线AC与8。交于点过E作七尸J_

10、A8于点凡。为边AB的中点，且正+EO=8.求AT+8C的值.（2008年四川省竞赛题）图15-10解：设。尸=x,贝IJFB=8-x,FA=S+x.由题设OAE/CB,知=ADAB即AD=-EF.S-X同理，BC=-EF.161618X8%J又在RiAEFO中，E产+OF2=OE2，解得EF=8-.16由，得4)+8C=I6.例10如图15-11,在等腰梯形ABCO中，AB/DCtAB=998,Z)C=IO01,4)=1999.点P在线段AD上,则满足条件NBPC=90的点P的个数为().A.0B.1C.2D.不小于3的整数（1999年全国联赛题）解:选C.理由：设A。的中点为M,对BC张成

11、90角，又设N在AO上,且AN:NO=998:1001,由AABN和aOCN都为等腰三角形推知，N对8C张成90,注意到以8C为直径的圆与Ao至多有两个交点，可知所求的点的个数为2.例11如图15-12,在直角梯形48Co中，底AB=I3,CD=8,AQ_1A8并且At=12,则A到BC的距离为（）.221A.12B.13C.-D.10.513（2003年四川省竞赛题）图15-12解：选A.理由：作。氏148于E,则AECo为矩形.故AE=DC=8,CE=AD=2.于是，BE=AB-AE=5fBC=yCE2+BE2=13,即aABC是等腰三角形（A=BC）,作A尸_1BC于尸.两腰上的高相等，

12、故AF=CE=12.例12如图15-13,直角梯形ABCO中，AD/BC,N8=90,A）=2,8C=4,点/在高AB上滑动.若ADAP与aPBC相似，AP=3时，PB=.（1998年重庆市竞赛题）解：填色或6.理由：由以产和aPBC相似，有丝=丝或丝=3PBBCBCPBM甫ZhnDDAD.BC8#gAdBCN从而知PB=一或PB=6.AP3AP例13如图15-14,在梯形ABC。中，AB/DC,AD=BC,AB=10,C）=4,延长8。到E,使DE=BD,作EF_1AB交BA的延长线于点儿则A尸=.（1997年山东省竞赛题）图15-14解：填4.理由：过。，C分别作A8的垂线，垂足为G、P.

13、因ABCO为等腰梯形，四边形OGPC为矩形，故10-4GP=DC=4,AG=-=3.2又DE=BD,DG/EFt故FG=G8=10-3=7,AF=7-3=4.例14如图15-15,在R1ZXABC中，NABC=90,NC=60,BC=2,4是AC的中点，从。作。从1AC与C8的延长线交于以AB,8E为邻边作长方形ABE尸，连DF,则。尸的长度是.（第11届“希望杯”竞赛题）图615解：填2J.理由：自。点作DGBC交律于G.因。是AC的中点，故。G是梯形4CE/的中位线，DE=在放ZXABC中，ZC=60BC=2,故AC=4,CD=2.在RtACED中，ZC=60,C=2.故。E=24,DF=

14、23.例15如图15-16,在正九边形ABCDEPGH/中，AE=,那么AB+4C的长是,13届“希望杯”竞赛题)图616解：填1.理由：延长AC之K,使CK=CD,连A。，DK,可证出4C=M.事实上，因正九边形的内角为140,于是在aABC中，NBAC=N8C4=20,即有ZACD=120,从而Nf)CK=60.又CK=DK,即ACQK为正三角形，有DK=CD=DE.又四边形ABC。为等腰梯形，故NAPC=I80-NBCr)=40ZADK=ZADC+ZCDK=100在AAQK和4)中，AQ公用，ZADK=ZADEtDK=DE,故AQK丝从而AE=AK=AC+CKAC+AB=X.习题151 .已知梯形的两对角线分别为加与小两对角线的夹角为60.则该梯形的面积为（）.A.mnB.mnC.innD.Rrm842（1995年全国联赛（民族卷）题）2 .如图，在梯形ABCQ中，A8CQ,且AB=2CD,M,N分别是对角线AC,8。的中点.设梯形ABC。的周长为,四边形SMN的周长为6.则4与4满足（）.A.1=I