三角函数难点解析.docx

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1、三角函数难点解析广州市番禺区象贤中学(511483)方小芹一、求三角函数的值域求三角函数的值域是高考热点，主要考查将所给的三角函数式化为单角三角函数式的能力。纵观近几年的高考，归纳起来主要有以下四种类型：1：形如sinr+8cosur,其特点是齐次式。若为一次齐次式，则提出利用两角和与差的三角函数公式化简为/?+从SiiIgJr+川的形式,其中tany=，；若为二次齐次式，则先利用半角公式降次为一次齐次式后再利用前面的方法进行化简求解。其终极目标是化为一个三角函数的一次式的形式。例1：(05年高考广东卷第15题)化简6k+16k_1i-jc/(x)=cos(-%+2x)+cos(-2x)+23

2、sin(y+2x)(xR,kZ),并求函数/(x)的值域。解：f(x)=cos(2+y+2x)+cos(2,y2x)+23sin(y+2x)=2cos(-+2x)+2-/3sin(-+2x)33=4cos2x函数6)的值域为-4,4；练习：(05年高考重庆卷文科17题)若函数/(X)=I，。？*+sinx+a2sin(+马的最大值为2sin(-x)422+3,试确定常数a的值。(答案：J)2：形如si?x+Asinx+c或acos2x+bcosx+c,其特点是关于三角函数的一元二次形式。解此类题的方法是先配方，然后利用二次函数的性质求解。例2：(05年高考浙江卷理科第8题)已知k4则函数y=c

3、os2x+伙CoSX-I)的最小值是()A.1B.-1C.2k+1D.-2k+1解：y=cosIx+A(CoSx-1)=2cos2x+Arcosx(A+1),.(Jik、zA+8A+8设f=cosx,Ze-1,1,则y=2+)48,则y=2（f+J）2-1警已在为单调递减函数,48，当E=1即COSX=I时，函数有最小值1。选A练习：（04年高考全国卷4第15题）函数/（x）=COSX-JCOS2工（JCWR）的最大值等于2（答案：?）43：形如Si11a+cos。+SinaCOS。，其特点是关于三角函数的二元二次的形式。解此类题的方法是利Z2-I用整体代换法求解，即设Sina+cosa=f,

4、则Sh1aCOSa=,这样就将原式转化为关于t2的代数式，然后可利用二次函数的性质求解。例3：求函数y=sin+cos+sincos0的值域解：设Sina+cos=E,t则SinaCoSa=j=+/=(/+1)2-1222当f=i时,函数的最大值为*日当后时,函数的最小值为白痣.函数的值域为9衣9亚练习：（05年高考福建卷理科17题）已知一生VXV0,sinx+cosx=（I）求SinXcosx的值;251,2XeXx.2X（答案：-M108、)1253sm2sn-cos+cos(Ii)求ZZ_Z2的值.tanX+cotX4：形如y=（tanx）,其特点是分式的形式，分子与分母均为齐次式。化简

5、的方法是分子与分母同时除以COSX（一次齐次）或co（二次齐次），变形成关于tanx的形式后求解。例4：（05年高考全国卷1第7题）当OVXV生时，函数八工）=1+C-2x+8sX的最小值为（）2sm2x_z、1+cos2x+8sm2xsnx+cosx+cosxsnx+8snx：/(x)=sin2x2sinxcosx4sin2x+cos2x1=4tanx+SinXCOSXtanx又0O2因此/（x）4（当4tanx=一时等号成立）。所以选C。tanX练习：（04年高考天津卷第17题）已知tan（生+a）=5，求生四二些*的值。（答案：-W）421+cos2a6说明：通过以上的化归方法化简了三角

6、函数式以后，不仅能求其值域，还能求周期、单调区间、最值等性质。二：已知三角函数值求角的方法新教材对于“已知三角函数值求角”的要求已经降低，只需要会求形如ISiI1X=。或CoSX=。的题目，以便为解三角不等式奠定基础。下面以Si1IX=。为例说明已知三角函数值求角的一般方法。无论a0或水0,先求0,y内的X,使Si1IXI=Ia1若a0,则X在一、二象限；若a0,则x=2A%+x,或=24%+万一与；若a0,则X=2A+X,或X=2k+2,-X1。余弦也可按以上步骤进行，如果遇到sin（r+0）=的情况，只须先利用换元法令f=+0，然后按照以上步骤操作完成得到t的解后再求出X的结果即可。例5：

7、已知COSX=,（XeK）,求X2解：.-J,选取,_22_sinx，选取一肛%,cosxa,选取,2%,就能够使得所22求的范围在一个周期内不被分为2个区间。突破了这一难点后，利用己知三角函数求角的方法，在以上区间求出不等式取等号时的三角方程的2个解，然后利用三角函数的图像写出使得不等式成立的区间。例6：求y=J二+cosX的定义域。解：VcosX-又TCOSX=-I在一%,T上的解为一空和旦2332%2,由余弦函数的图像可知定义域为：x2k-wx2k+3-,kwZ练习：(05年高考全国卷3文科第17题)已知函数/(x)=2sin2+sin2x,xw,2%,求使/(x)为正值的的集合。(答案：xOx,或;TVxv/)联系电话：13312807068通讯地址：广州市番禺区象贤中学校长办公室