专题01 扇形、弓形的周长和面积+刘子琳.docx

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1、1、扇形、弓形的周长和面积平面上到定点距离等于定长的点的集合称为圆.扇形、弓形都是圆的一部分，圆中一段弧及过该弧两端点的半径围成的图形称为扇形；由圆得弦及所对的弧围成的图形称为弓形.设圆的半径为r,则圆的周长为C=24r,面积S二万尸.trrnH7若扇形的半径为，弧所对的圆心角为，则扇形弧长为/=丝,扇形周长C=-z+2r,面积S=-.180180360弓形面积则需要考虑弧所对的是优弧还是劣弧，如图1-1,弓形AQB的面积S=SWs+So8,弓形的周长C二弧长+弦长.由圆、扇形、弓形等构成的图形面积或周长计算通常需要一定技巧，处理这类问题的手段是分解组合、等积变形等等.例1如图12,AB,CD

2、是。的两条互相垂直的直径，且A3=2,以点3为半径画弧AE交Co延长线与点瓦又四边形瓦GO为正方形，求阴影部分的面积.分析将图形分割为AED区域和OEFGB区域，其中AED区域的面积等于扇形ABE的面积减去扇形AOD的面积及AOBE的面积之和./7解注意到BA=BE,且E。垂直平分AB,故MBE为正NABE=6。QE=汩AB=瓜2所以SADES八班一SAa)-S&OBE=(3)244=3-4-c3故S=3d.62例2如图1-3.正方形ABCD的边长为兄分别以A,8,C,。为圆心，,为半径画弧，求四条弧所围成的阴影部分面积.解如图1-3将正方形各部分进行分割，面积相等区域用相同的字母表示，于是x

3、+4y+4z=6t2x+3y+2z=等.另外，设以点Ao为圆心的弧交于点E,则AE=。E=AD,AOE为正三角形。11htC7tC1y/3。71dyj37Gk所以x+2y+z=2xc-.6434于是5=2-42=（6一3+|4）。2说明此题关键是发现AT)石为正三角形，因此，请读者在解决问题时宜用心掘潜在条件.例3如图14,扇形的半径为20,圆心角为144,B,C,D,E,F,G,“是扇形弧线八等分点，求阴影部分的面积之和.分析合理分割，小心拼接解连接OE交。厂与点”，交GC与点J,交”8于点K,交A/与点N,连接。尸与A/与点。,连接OG交H8于点p,连接0H.易证AOFM=MONySQNM

4、F=S/”从而区域IHGFQ为公布部分，故Siof=SFMN1又AGZO=AOK”,所以又区域G”产为公共部分，椒SGHKJ=S/从而区域RWM中，S=SiofSHoG=S1OG362=r360=40乃.由于对称性，于是在区域A/FD中，S=80%例4在一个三边长为50,120,130的三角形内部与外部分别取出与三角形边上至少有一点的距离为2的所有点，求所有这些点构成的区域的面积.解依题意得，所求面积区域为图1-5中A用G的外围部分面积.A3C的三个顶点在一起处各有一个小扇形，半径均为2,合在一起恰好为2的圆，故图中A5C外部面积S1=-22+(50+120130)2=600+4-.其次，易知

5、，1B1C,ABC,且共内心，内切圆半径相差2,由于AABC的内切圆半径为50+120-130=20,故AA1耳G的内切圆半径为18.AAIBC_81AABCioQ1所以SMBIG=JGXSMBC811S=X501201002=2430.例5在边长为1的正五边形ABCDE内，去掉所有与各点距离小于1,求余下部分面积.分析关键是确定余下部分形状.解如图1-6所示，分别以AB,C,Q,E为圆心，以1为半径画弧，这些弧围成一个“曲边五边形”MNpQR,其余的部分由五个等积的形如“曲边三角形N8C的图形组成.注意到曲边三角形NBC与扇形NoC的面积之和等于AONC与扇形NCB的面积之和，所以所求余下面

6、积之和,S=5(SADNC+SNCB-SNDC)4360534-6一乃)360例6已知正方形和三角形都外切于半径为1的圆，求证：正方形和三角形重叠部分且在圆的外部区域面积大于0.34.证明当三角形的边与正方形所在边的直线不重合或者平行时，则三角形的边必将正方形减去一个角，此角在重叠部分之外，先考虑部分面积的情况.如图1-7。切正方形的边长与点E,8C与点。连接OE,08,。2。COF,则四边形OE4尸为正方形.设AB=X,AC=y,BO=1-x,Cz)=CF=1-乂故有RfA3C中有(1-x+1-y)2=2+y22+xy=2(x+y)2+xy=2(x+y)4Jxy化简整理得：1rr-rx72+

7、2,2-20x,y1.于是历2-,Smbc=g肛(3-1)2由于三角形最大边最多截去正方形三个“角”，从而三角形与正方形重叠面积至少为S-3Sasc,若符合题意得区域面积为S,则SS-3Sbc-S22-3(2-1)2-12=62-5-0.34.证明正方形与三角形重叠部分的面积不可能等于6-5,但可无限接近.习题11 .RfBC,AC=8C,NC=90,点。在AB上，以点4为圆心，Az)为半径画弧交BC交于点E,AC的延长线与尸,若图中两个阴影部分面积相等，求2 .在一块周长为500米的三角形草坪周围修筑一条宽1米的小路，且路的任何一处至少与草坪的某处距离为1米，求路的占地面积.34 .AB是半

8、圆。的直径，作QDJ_AB交半圆。与点。,分别以点A,8为圆心，AB为半径画弧交AC,8。延长线与F,E,再以点。为圆心，OE为半径画弧，连接瓦尸,若AB=2,求图中阴影部分面积.5 .直角三角形ABCAC=C3=2,Ne=90,将ACB绕C顺时针转90,求AB扫过的区域面积.6 .将一枚半径为Icm的硬币置于n边形内，硬币可在里面任意移动，但不可超越边界，求正边形内硬币不能接触到部分面积.7 .正三角形的边长为内过每两个顶点及中心O在三角形内作弧，求阴影部分的面积S闲.89 .正三角形的边长为2小以各顶点为圆心，J2为半径画圆，求:圆的公共部分面积.10 .ABC的三条边A8=c,8C=4,

9、CA=Z?,作AC的内切圆，再作此内切圆的三条切线分别平行ABICCA又得到三个小三角形，再作这三个小三角形的内切圆，求这四个圆的面积之和.习题11 .区域ADEC是扇形DAF与AACB公共部分，若图中阴影部分面积相等，CC1s245.7ca万221a2._2Ao7AD22Si=Sn.Fy-AC=rAD,2,AC=AB，一AB=AD，=J，=2 Daf236048ABV2DB-23 .依题意，路的占地面积由三个矩形和三个扇形组成，三个矩形可拼成一个长500米宽1米的矩形，三个扇形正好拼成一个半径为1米的圆，从而占地面积3.S=5001+-12=(500+)4.边AB扫过的区域即图中的阴影部分，

10、它由两个弓形4)8和8石尸及曲边三角形08E组成，故S=一4x224+(2)乃X=2.22425 .将各顶点处不能接触到部分拼合在一起，围成一个边心距为ICm的正边形，但除去半径为6 .连接O8,OC,作0_15。,5&0配1=30。=且/.设弧3。的圆心为0”由垂径定理得2612/TQB=-。,从而扇形3QC中减去50CO1得到两个小弓形，两个小弓形恰好拼成“三叶玫瑰”中的一片叶子，所以S=34也CI)SAoBC=3-a1-a1=-a2-a2.33J_96J327.由于对称性，可将图中各部分面积分别用x,y,z表示，相同字母表示面积相等，易知3x+3y+z=3a2.,x+2y+z=-(j2a

11、)2=-a2.注意到63HN2CN2=(2a)2+(2)2=(2a)2=BC2,故BNNC,从而不难知道MN垂直平BC.NBM=ZBNM=45,y+z=2(Snbd-Sw)=2-(4)2-a2=a2-a22解得，Z吟卜+266)8.8.设AABC的面积为S,半周长为p,则ABG的半周长为-&AQ与4,夕的半周长为P-8，ASe的半周长为p-c,则ABC的内切圆半径r=持，又同理心=包=TS,4=%U=S,故p-bpp-cpS总=Ur2+j+,+人)1(p-a)2(p-b)2(p-c)212二江+4+4+4-SP-PPP0(a2+b2+c2)=S2：1P又S?=p(p-)(p-力)(p-c),故与二区也叵3（第7题图）（第8题图）