专题2.11 已知不等恒成立分离参数定最值（解析版）.docx

《专题2.11 已知不等恒成立分离参数定最值（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题2.11 已知不等恒成立分离参数定最值（解析版）.docx（33页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、专题11已知不等恒成立，分离参数定最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：分离参数+函数最值；直.接化为最值+分类讨论；,缩小范围+证明不等式；分离函数+数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限(超出教学大,纲要求)；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分

2、类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清装图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。俗话说，形续数时难入微。【典例指引】例1己知函数f(%)=e*(ar+b)-e*1nx.(1)若函数/(x)在x=1处取得极值，且b=1,求。；(2)若b=-a,且函数x)在1,+)上单调递增，求”的取值范围.解：r(x)e-1nx-11,由题意可得：/(1)=0,又小1,所以=0经检蛉适合题意.(2)/(x)=e

3、1(0r-1nx),f,(x)e*r-kx-0r-1nx-j/(x)在1)上单调递增u(x)0在1,田)上恒成立0-必工-:“在囚户让恒成立法一(分常戮4+磔娓值)：贝心之竽在1)上恒成立，令g(x)=竽+,下面求g(x)在1,)上的最大值.g(x)=整年一?-2,令ZI(X)=XT加_2,则(x)=1-j11nx+x.；=TnX显然，当x1时，为(x)0,即A(X)单调递减，从而/t(x)A(I)=T.所以，当x1时，g(x)O,即g(x)单调递遍，从而g(x)=g(1)=1因此，41法二(直接化为最值+分类讨论)：令g(x)=or-InX-1r(x)=-一.h(x)=ax2-x+1(x1)

4、,当=0时，h(x)=-X+1O,所以g(x)O,即g(x)在1,+oo)上单调递减.而g(1)=-1=-10时，则开口向上(方案一)：I.若A=I-4o0,即;时，力(X)0.即g(x)0,x1,+8),所以g(x)在1,+co)上递增,所以gmin(x)=g=4-12。，即“1.若(),即0；时，此时g(1)=-10,即g1x)0,xw1,yo),所以g(x)在1+)上递增，所以geaa卜)=g(1)=10,BP1.若对称轴x=31,即04；时，贝IJg(I)=-10=且)0=且(力在1,+00)上为增函数，则g(x)g(1)=0-10,故I适介题意.学科&网例2.(2016全国新课标II

5、文20)己知函数/(x)=(x+1)1nx-(x-1).(I)当=4时，求曲线y=(x)在(Ij)处的切线方程;().若当xw(1,+oo)时，/(%)0,求4的取值范围.简析:(I)/(刀)的定义域为(0,+0在1xo)恒成立O1nX-幺W0在1,)恒成立，令g(x)=InX-WngiX)=：-TK=匚/芈H，g(1)Ox+1XIx+1x(x+1)当42时，则xw(1xO)时，x2+2(1-)x1x2-2x10,故gO,g(x)在(1XO)上是增困数,故有g(x)g(1)O当42时，则g(x)=0=再=4_一,x2=a-1(a-1f-11,由xpr：=I=OVX1,故x(1,xjng)g(x

6、)在(1XJ上是减函数，故有XW(ItXJ=g(%)故2不适合题意.综上，实数的取值范围为2Y-4-1法二(直接化为最值):/(=(4+1)1111-4(4-1):0在1,+00)恒成立，则r(x)=1nx+-a(导函数为超越函数)；/(=1_*=*0=:(力=11+1_在1,+00)为增函数则r(x)r(1)=2-(1)当2-00即2时，则f(x)/(x)=2-0(当且仅当x=1,=2时，取“=)，故/(x)在1,+)为增函数，则有/(x)(1)=O,故/(x)=(x+1)1nx-o(x-1)0在1,+)恒成立，故2适合题意.(2)当2-2时，贝IJra)(1)=2-0,故/(x)=0在1,

7、+)有唯一实根X0,则/(x)在。,小)为减函数，在%,+8)增函数，又有了=0,则存在Xow1,+oo),使得/(小)2不适合题意.综上，实数a的取值范围为aOft1,+)tJjtzh,(x)=1+-=-+O(x)=-21nx1,+(1)=On(x)0g(x)=+1n”在(1,+)为增函数，又因x-1Iimg(X)=Iim(+0tnx_IimH+1+Inx=2，故实数的取值范围为2x*r-1*x)法四(缩小范围)：/(x)=(x+1)1nx-o(x-1)0在1,+恒成立，且/(1)=0,则存在?1,使得/(x)在1,n上为增函数=r(x)=1nx+A!-0在1,河上恒成立,令X=I=,(1)

8、0=a2.又当2时，/(X)=I!=MO=(x)=1nx+B+1-在1,+为增函数，则/(x)r=2-a0(当口仅当(当口仅当K=IM=2时，取“=)，故/(x)在1,+)为增函数，则有/(x)/(1)=0,故/(x)=(x+1)InX-(x-1)O在1,+oo)恒成立，故a2适合题意.综上，实数。的取值范围为2.学科&网点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线/(力=(工-1)2+方1在点(1,7(1)处的切线的斜率为1；(1)若函数

9、J(X)在2,+oo)上为减函数，求的取值范围；(2)当x1,+)时，不等式f(x)x-1恒成立，求的取值范围.解：(I)r(x)=%X-%-g由题知r(1)=b=1.,./(x)(x-1)2+1nx,/(x)2zzr-2=m/(%)在2,WO)上单减，.r(x)O在2=)上恒成立即2故：一2OX+10在2,内)上恒成立，2a一一=-,.,.a-；Ix-xsnfi24g(x)(x)-x1=a(x-1)2-wx-x+1,贝g(x)O在1+)上t亘成立,.1,(2x-1)(x-1)g(x)=20r-2-1-当240即0时，gx)O,g(%)在1)上单瀛，g(x)g(1)O,符合题意:当01时，g(

10、x)g(1)=O,矛盾；当时，g(x)在上单减，(,+8)上单增，而g(11)=防(11)0,矛盾；综上，0.法二(分离参数)f(x)-x+1Oa-!少在(1,+oo)上恒成立(端点X=I自动成立)(1),1Z八/X-I-InX设g(x)=72=g(XT)x+2nx.9(/?(=，一彳+21114在1,+)上为减函数，厕(x)g，(x)g(x)在(1,+)上为减函数,又因Iimg(x)=Iim-生_=Iim=O,故实数的取值范围为0t*-0or-4O-法三(缩小范围)：令g(x)=/(X)-X+1=4(X-If+1nx-x+1,贝IJg(X)0在1)上恒成立，注蕉IJg(1)=0,g,(x)=

11、2r-2zzA-1=.i.761x11111则存在加1,使得g(x)在1,词上为减函数=gx)=20c-24+j-10在1,间上恒成立，又有g(1)=0则存在1,使得g(x)在上为减函数ng(x)=2-g0在1川上恒岫，又有g(1)=24-10n44:.又当轲，则(刈工为_2+，_=(3_1)(XT)2XX(D若40时，g,(x)O,g(x)在1,)上单减，.g(x)g(1)=O,符合题意；(2)若O1，故g(力在二单减，(T?+8)11单增，而g(-+1)=(+1)O,矛盾；学科&网综匕实数。的取值范围为0点评：(1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在x+时得到下确界，值得留意.(2

12、)缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。(3)构造反例，寻找合适的特殊值，.具有很强的技巧性。因函数g(x)=(x-1)?-x+1+1nx分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的.零点为x=1,而二次函数的零点为x=1及X=1+1,又知当01,故易得a2ag(f1)=(1)0,从而导出矛盾。【扩展链接】洛必达法则简介：法则1若函数/(x)和g(x)满足下列条件：(1)/(x)=0及也g(x)=O;(2)在点。的去心邻域内,%)与g(x)可导,且gx)O;(3)=那么=ig(x)*g(%)i“g(x)法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件:在(o,A)与(A,*o)