专题3.13 探究代数表达式函数方程来发力（解析版）.docx

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1、专题13探究代数表达式，函数方程来发力【题型综述】探究代数表达式包括以下若干类型：(1)参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否则不存在(2)等式恒成立问题，根据题仲条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。【典例指引】类型参数值的探究例1【2016年高考四川理数】(本小题满分13分)22已知椭圆曰=+与=1伍匕0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线ab2/：y=-

2、+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(I)求椭圆E的方程及点T的坐标；2+,122T厅(II)设O是坐标原点，直线/平行于or,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线1交于点P.证明:存在常数4,使得IP开二HPAH尸耳，.并求力的值.【解析】(D由已知，/+/=(2C)即4=1,所以=JIb,则椭圆E的方程为1i_=1由方程组42/得3/-12x+Q8-2b?)=0.y=-x31方程的判别式为4=24(/-3),由ZI=0,得力=3,此方程的解为户2,所以椭圆E的方程为+r-=1点T坐标为(2,1).（ID由已知可设直线，的方程为y=工0）,c112m1X，V=x+w,/=3有方程组.2可得；

3、V=-+3,y=1+q.所以9点坐标为（2-?+?）,PT=m2.33119由方程组可得3x2+4wx+(4-12)=0.设点工，5的坐标分别为4（项,用），B（x2,y2）1V=x+W,2,z-xz04/n4w2-12山得X+x2=-,x1x2=所以IPAHP同=；（2_竽一再）（2与_）52加、202机、/.=(2)-(2)(x1+x2)+x1X2,C2m、小2机、/4/?.4n2-12(2-)-(2-)(-)+-3333102=m.94,故存:在常数;I=不使得IPT=4IpAHP现类型二恒等式成立探究例2.12015高考四川，理20】如图，椭圆E：=+=1(人0)的离心率是也，过点P(

4、U)的a2b22动直线/与椭圆相交于A,B两点，当直线/平行与X轴时，直线/被椭圆E截得的线段长为20.(1)求椭圆E的方程;PA(2)在平面直角坐标系xy中，是否存在与点P不同的定点Q,使得苏二H升恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解得=21=&22所以椭圆的方程为+J=142(2)当直线/与X轴平行时，设直线/与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件，则端5=悬=1BPC=QD.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0,%)当直线/与X轴垂直时，设直线/与椭圆相交于M、N两点.则M(O,),N(O,-),IQM1IQN1PMIPM解得%=1或%=2.所以，若存在不同

5、于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为。(0,2)下面证明:对任意的直线/,均有3=地.学*科网QBPB当直线/的斜率.不存在时，由上可知，结论成立.当直线/的斜率存御%可设直.线/的方程为y=Ax+1,A、B的坐标分别为,y）,（x2,%）22x+y-42,得(222+1)工2+4米一2=0.学*科网y=kx+1其判别式A=1628(22+1)O,22F+1、4k所以，再+巧=-2左2+1再W=一因此2_+2_=二*=2匕X1X2XiX2易知，点B关于y轴对称的点的坐标为V（-/2）.所以第=峪,即246三点共线.所以3=3=国=侬八|。可|四|x2PB故存在与P不同的定点。（0：2）

6、,使得券=瑞恒成立.类型三面积最小值存在性例3【2015而考湖北，文22】一种画椭圆.的工具如图1所示.O是滑槽A8的中点，短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处较链与ON连接，MN上的栓子。可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=I,MN=3.当栓子。在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C以O为原点，AB所在的直线为X轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(I)求椭圆C的方程；(II)设动直线/与两定直线/x-2y=0和4+2y=0分别交于P,。两点.若直线/总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：AOPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.第22题

7、图1第22题图2【解析】(I)因为IQM1MV+M9=3+1=4,当M,N在X轴上时，等号成立；同理OMMNHN0=3-1=2,当。重合，即MV，X轴时，等号成立.所以椭圆C的中心为摩点。,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为W-=1164()(D当直线/的斜率不存在时，直线/为x=4或x=T,都有山小=?4、4=8(2)当直线，的斜率存在时，设直线1”收-冽侬工土:)，由JJ=二犯,1时,4%收=8(普)=8(1+后)8：当O-A12+1217时，Sbp0=8(-)=8(-1+-)因01，贝IJ0b0)的离心率为理,由被曲线C,:y=d一人截ab乙得的线段长等于G的长半轴长.(1)求0,。2

8、的方程；(IDSC2与)，轴的交点为M,过坐标原点。的直线I与C2相交于点A,&直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.(1)求证:加。_1_知后;17(ii)记AMAB、AMDE的面积分别为S1,S,.问:是否存在直线I,使得，二一?请说明理由.S232【解析】由题知。=让从而o=2,又2而=,a2解得=2力=1.故C，G的方程分别为f+/-1()(i)由题知,直线/的斜率存在,设为k,则直线，的方程为y=kxy=Ax1.由.得X2-AX-I=Oy=xr-1设次甬JI)2),贝IJW也是上述方程的两个实根,于是内+w=ksx1x2=-1又点”的坐标为(01),所以+12+1_(+1)_k2x

9、1x2+(x1+)+1_-k2+Ar2+1_fcMA,fcMB=r-1-i1=U故NIA1MBt即MD二ME.(Ii)R一法W设直线M4的斜率为礼则直线M4的方程为P=匕X-1由V；二，=；砺y=-1X=,C?2,.则点4的坐标为&,始-1).J=尢-13 又直线MB的斜率为一；,同理可得点B的坐标为(-11-1).kk4 .尸为椭圆三十与=1(。匕0)的左焦点，AB是过左焦点倾斜角为。的弦，点A在X轴上方，则abIAm/b22ab2AFa+ccosIAFI=BFI=AB|=-y=.a-ccos+ccos6?a-ccosBFa-ccos05 .尸为抛物线V=2px(p0)的焦点，AB是过左焦点

10、倾斜角为。的弦，点A在/轴上方，则1,PIgPIZ1m2p2pAF1+cos6AF=-，BF=-,AB=i-3-=-,=.1-cos191+cos1-cos2sin29BF1-cosb0),由题意可得c=2,由椭圆的定义计算可得,进而得到。，a2b2即可得到所求椭圆方程；35(2)设直线AE：y=c(x-)+-,代入椭圆方程，运用韦达定理可得E的坐标，由题意可将兑换为-A,可得产的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线石户的斜率，设出直线/的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0,可得直线/的斜率，进而得到所求斜率之和.【解析】V2X2(1)由题意可设椭圆C的方程为=+=1(ab

11、0),a2b2r3Jf35231010_且c=2,2=J(-)2(-+2)2+j(-)2(-2)2=-+=210,即打Q/10,b=而?。2=22所以椭圆的方程为工+7=1：106/35(2)设直线AE:y=牛一方+2,代入椭圆方程可得7753kO(5+3c2)xz+3k(5-3k)x+3(y)z-30=0,33k(3k-5)可得电+万=5+3fc2，即有%=9/一30k-156fc2+10z3、5，%=的一z3、5卜厂尹T由直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，可将k换为一k,曰9fc直线AB的斜率为一(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线2:y=kx(kv0)与椭圆交于M,N两点,且点M在第

12、二象限.，与48延长线交于点P若ABNP的面积是A/?MN面积的3倍，求A的值.【思路引导】(1)利用椭圆的焦距和力B的斜率列方程组，解方程组求得。力的值，由此求得椭圆标准方程.(2)设出M,P两点的坐标，利用“ABNP的面积是A/7MN面积的3倍”得到PN=3MN,转化为向量PN=3血，并用坐标表示出来，求得M,P两点横坐标的关系式.联立直线的方程和直线2的方程，求得P点的横坐标；联立椭圆的方程和直线/的方程，求得M点的横坐标，根据上述求得的M,P两点横坐标的关系式列方程，解方程求得的可能取值，验证M点横坐标为负数后得到k的值.【解析】+30fc-15可盯=9y=k2+10则直线EF的斜率为治=在一观-()3ZcxF-xExF-xE3设直线/的方程为y=卜一5+-，代入椭圆方程可得:5(5+3kx2