二级结论专题3 不等式.docx

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1、专题3不等式二级结论h均值不等式链【结论阐述】T4J茄4等MFj二（0为X）,当且仅当*时取等号）ab【应用场景】以“和”（平方和、调和）为本质特征的“平均数”与以“积”为本质特征的“平均数”相互转化.主要用于求函数最值、证明不等式，但要注意三个条件：“一正”，即项项为正；“二定”，即两项之积“或和为定值”;“三相等”，即项项相等时才能使”号成立.【典例指引111.若XQ为正数，!i1J2x+-+2y+：J的最小值是（）A.6B.7C.16D.9【典例指引21F2.设4O,b0fa2H1则aJ+b2的最大值是.【针对训练】一、单选题（2023天津南开中学模拟预测）413 .已知正实数力满足一r

2、+71-=1,则的最小值为（）a+b/7+1A.6B.8C.10D.12（2023辽宁鞍山一模）4 .权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设。，b,X,y0,则幺+生（+）,当且仅当N=2时等号成立.根Xyx+yxy291据权方和不等式，函数/*）=*+二?（0不0、b0f且一+:=1,则彷的最小值为（）.abA.16B.4C.D.164（2023广东茂名二模）6 .已知从=3/-2（。，bR）,则3-的最小值为（）A.OB.1C.2D.27.己知4o,b0,定义（,b）=max,则以3,力的最小值是（）（2023浙江湖州模拟预测）a+22-+2

3、haA.5B.6C.8D.1二、多选题（2023河北保定一模）8.下面描述正确的是（）A.己知。0,b0,且4+2=1,贝IJIOg2。+1og262B.函数/（x）=IgM,若OVaVb,且/（a）=/,则g+2的最小值是2012c.己知77T+元=I（X），则3+y的最小值为2+27D.己知/+/一工一丫一孙+2=0（0,y0）,则D的最小值为万（2023广东肇庆二模）9.已知f+y2=,R,yR,且孙r0,则（）A.x+yC. Iog2x+Iog2y-11 1rD. j-+j-ia+2bb3B.Ja+/h2C.a+2b3D.二+一3ba（2023江苏南京市第一中学模拟预测）11 .已知m

4、b为正实数，且疯=32+匕-4近,则为+b的取值可以为（）A.1B.4C.9D.32（2023江苏阜宁县东沟中学模拟预测）12 .设m力为两个正数，定义小b的算术平均数为A（,b）=学，几何平均数为G（afb）=40b-上个世纪五十年代，美国数学家D.H.1ehmer提出了“1ehmer均值”,nP4.AP即4(1)=券*f,其中P为有理数.下列结论正确的是()A.Zt)5(,6)WZ1(力)B.4(,b)G(,b)C.11ayb)Aa,b)D.1n+1(a,b)1n(a,Z?)二级结论2：两个经典超越不等式【结论阐述】(1)对数形式：x1+1nx(.rO),当且仅当尸I时，等号成立.(2)指

5、数形式：exi+1(xe/?),当且仅当户O时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：x+1x1+1-(x0且.r1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数:ex=+x+彳+(：炉炉”In(Hx)=X-5+-*)噂7+。卜截取片段：exx+1(xeR),1n(1+x)-1),当且仅当X=O时，等号成立；进而：1n0),当且仅当户1时，等号成立.【应用场景】对于这两个不等式的得到都是源于高等数学中的泰勒展开，他们的变形式还有：InP,1nx1-1,1nA1-1,七11nxx-1等，1%JXXXXX这些都高考命题的题点.【典例指引1(2023江苏苏州高三期末)13 .已知。b+11则下列不等式一定

6、成立的是()A.b-cbB.a+-b+-b+Qb.j,1C.D.a+nb0,都有/(x)0,求实数4的取值范围;若a、bOf且+b=1,求证：对任意x0,都有：ex(1+r)(1+).【针对训练】(2023广东韶关一模)15.BJ=es,n,1,=sin1,c=cos1,则()A.acbB.abcC.cbaD.ca0,1nxx-1;命题4：VxeR,61则下列命题中为真命题的是()A.-PAqB.PdqC.P人FD.-I(PVg)(2023广东肇庆)17 .下列不等式中，不恒成立的是()A.e2x+3(xwR)B.(x+1)21n(x+1)(x-1)C.1n(x2)x1(x-2)D.exsin

7、.r+(xR)(2023安徽东至县第二中学)18 .下列不等式正确的个数有()个.exx+;X-INInx；xx+,(x+1)(xe)A.0B.1C.2D.319.下列四个命题中的假命题为()A.xR,ex+1B.VxR,e-x+C.3x00,Inx0x0-1C11，D.3x00,Inx0-120 .下列不等式中正确的是sinx1n(+1).22 .己知f(x)=(x+1)1n(x+1).求函数/(力的单调区间；7设函数g)=2x-旨/(x),若关于X的方程g(x)=有解，求实数。的最小值;(3)证明不等式：1n(t+1)o,yo,=4+4+8=16,当且仅当4T”+*Y,即X*争寸，取等号,

8、最小值为16.故选：C.h2,h2【分析】已知/+=1,故应用基本不等式变J百为可以用/+与表示的形式，观察知除个我就可以了故答案为：乎3. B41【分析】a+2b=a+b+b+-t用+1分别乘一r+=1两边再用均值不等式a+bb+求解即可.4I【详解】因为，7+4:=1,且力为正实数a+bb+u1i、.,.八/41.c+b4(/?+1)所以a+Z?+Z?+1=(a+b+/?+1)(+)=4+1a+hb+b+a+b5+2Jo,则+生N生，当且仅当E=2时等号成立，y+yxyXOxO,22232(2+3)2231于是得f(x)=9+-丁JmF=25,当且仅当S=二即X二：时取，=，2x-2x2x

9、+(1-2x)2x1-2x5291所以函数/(幻=一+丁F-(OVX0、b01所以，+；2Jg=4即14，所以Qab4,即414力216,当仅当一=:，即。=8,人=2时，等号成立.ab故选：A.6. C11U=J5a+b【分析】由加=32一2可得(J?。+力)(J5-2)=2,令1,表示出也再由(3a6)2=966+/=(1咚)以2+(+#)+v,结合不等式知识，即可求得答案.【详解】由6=3。22可得：3/从=2,故(岛+份(有一切=2,2J（1-咚）0+）v+v=2v=4，当且仅当(1-=(1+)v2,即.或V=3-11j22-b2h=6+4=10,aVa当且仅当9C1=a,即22b=2

10、h所以H(,b)5,即(4b)的最小值为5.故选：A8. AC【分析】对于选项A,利用基本不等式结合对数运算求解判断；对于选项B：结合对数的性质，利用对勾函数的单调性求解判断；C,用力”的代换，利用基本不等式求解判断；对于选项D,x2+y2-x-y-xy+2=01转化为(x+-(4+)，)=3“-2,利用二次函数的性质求解判断.【详解】对于选项A,:0,b0,a+b=1,.1=a+b2Gij,7,当且仅当=b=g时取等号，Iog2a+1og,b=Iog2abIog2,j=-2,，A正确;2对于选项B：因为必=1,所以0+2b=+-,又O),即+43,故B不正确;对于选项C,根据题意，已知3x+y=(x+1)+(2元+力一1,则(x+1)+(2中)岛x+12x+y=3+鬻+猾力2区当且仅当2x+y_2(+1)x+12x+y即X=立,y=1时，等号成立，所以3x+y2+2,故C正确;2对于选项D,x2-x-y-+2=0=(x+-(x+y)=3-2,令x+y=fO,所以1117x+k展r2-,所以3叶2-：=4，w此时二无解，所以选项D不正确，44127XV=-12故选：AC.9. AC【分析】根据基本不等式逐个分析判断IWJy=x2+y22xyf.9.2x2+y2+2xy01.*.-v+y2=