圆锥曲线复习题含答案.docx

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1、圆锥曲线复习题%2y21.已知抛物线Ci：y1=2px(jp0)和右焦点为尸的椭圆C2：+y=1.如图，过椭圆C2左顶点T的直线交抛物线C1于A,B两点，且丽=2刀.连接A尸交C2于两点N,交C1于另一点C,连接BC。为BC的中点，TQ交AC于D(I)证明：点A的横坐标为定值;【分析】(I)设直线TA的斜率，写出TA的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可证明A的横坐标为定值；(H)由(I)写出A尸的方程，与椭圆联立，利用韦达定理及弦长公式求得IMN，与抛物线联立求得C点坐标，利用中点坐标公式求得。，求得T。的方程，与A尸联立，求得。点坐标，可得IS|;分别求得7到A尸的距离，

2、。到A尸的距离，根据三角形的面积公式，即可表示出兽，根据关系式，求得A点坐标，代入抛物线方程，即可求得的值.S2【解答】解：(I)证明；由题意可知，T(-2,0),直线TA的斜率存在设为k,A(XI,yi),B(X2,2),不妨设直线以的方程为尸左(x+2)(QO),与抛物线方程联立得小遭；)，整理得2x2+(42-2p)x+42=0,则X1+X2-2。一产，XIX2=4,kVi1X1V?1因为=274所以一=则一=-7=-,设X1=Q(Q0),则x2-9a,x1x2=92=4,y23x2y2977则Q=W或Q=一W(舍去)，所以%=,即点A的横坐标为定值;(II)由(I)可知，Z(,k),B

3、(6,8k),则直线A尸的方程为尸-弘(4-1),y=-8k(x1)与椭圆联立得%2y2_,整理得(3+2562)X2-5122x+2562-12=0,(彳+w=%3%4=256必-123+256c2、512k2设f(X3,3),N(X4,)4),则%3+%4=2,12(1+64户)3+256c23+256/c贝IJ1MN1=1+64H(%3+%4)24%3%4直线”与抛物线联立得二软(一)，整理得6432-(128Z)x+64F=0,8k(丫=却%+2)y=-8k(x-1)设C(X5,5),则,54=1,则苑=C(4k),则Q(,2k),所以直线TQ的方程为y=翳(+2),与直线”联立得解得

4、;万，则D(Ik),即ICD1=J(I,)2+(5k)2=Jii1+25H,yT到AF的距离由=1628c=24k,J1+64c2J1+64c2小8c+2c-8c24kQ到AF的距禺=-J=SK,1+64c21+64c21 1由S=*CDd,S2=MNd2,厂I室+25GI-所以卷=悬=因此品逅=V整理得5*2562加358收-19=。，-3+256/C2解得好=急，则k=-所以4(|,3,由A在抛物线上,则(32=2px,解得P=焉，则抛物线的方程为y2=击.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，思路清晰，结合韦达定理，弦长公式,点到直线的距离公式等知识点，考查计算能力，属于难题.2.抛

5、物线=4%的焦点为F斜率为正的直线/过点尸交抛物线于A、B两点,满足/=2FB.(1)求直线/的斜率;(2)过焦点尸与/垂直的直线交抛物线于CO两点，求四边形ACBD的面积.【分析】(1)设出直线AB的方程与抛物线方程联立，得到A,B的坐标关系，在翻译出-满足ZF=298的坐标关系，可以解出办1(2)由条件分别算出AB,Is1的长度，再运用四边形ACBO面积为5ABCQ,即可算出答案.【解答】解：(1)依题意知尸(1,0),设直线AB的方程为X=My+1；将直线AB的方程与抛物线的方程联立2=7+A(yZ=4X消去X得=4吵y+4.设A(x,y),B(X2,)；所以y+y2=4,y1y2=-4

6、；因为/F=2FB,得y=-2”；联立和，消去y,”，得.m2=又m0,贝Um=?；故直线AB的斜率是w=22;(2)由条件有AB1CD直线8的斜率屹。=辛；则直线CD的方程y=孝。1)；将直线CD的方程与抛物线的方程联立,=一彳(一1)；得：/_34x+1=0;y2=4x设C(X3,3),D(X4,4),.*.X3+X4=34;.*.ICD=x3+x4+=34+2=36；由(1)知y1+y24m=V2；25.*.xi+x2=m(y1+y2)+2=彳XV+2=2；qQ则AB=X1+%2+P=+2=;D以所1-29-2X1-2故四边形ACBD的面积为81.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，

7、过抛物线的焦点的弦的性质和弦长的求法，考查四边形的面积的计算；考查基本运算能力，属于中档题.3.已知抛物线X2=2PyCpO)上一点P(2,yo)到其焦点F的距离为2,过点T0)(r0)作两条斜率为匕，上的直线/1,/2分别与该抛物线交于A,B与C,O两点，且左1+左2=0,SFAB-SFCD.(I)求抛物线的方程；(II)求实数万的取值范围.【分析】(/)由抛物线的定义以及点在抛物线上，列出方程组，求解即可得到答案；(II)设直线/I:y=k(X-力，与抛物线f=4y联立方程组，得到韦达定理，由弦长公式和点到直线的距离公式分别求出IAB1和点尸到直线Zi的距离d,求出胆B的面积，同理求出AP

8、S的面积，由题意了，列出关系式，结合判别式大于0,求解%的范围即可.【解答】解：(/)由抛物线P=2py(p0)上一点P(2,yo)到其焦点方的距离为2,4217Vq所以P解得P=2,了0+种=2，故抛物线的方程为=4y;(II)设直线/I:y=k(X-力，与抛物线=4y联立方程组，可得-4左x+4左U=O,设A(x,y),B(X2,2),贝IJJn+%2=4左1,Xixi=Akit,所以IZB1=1+c2J16k12-16k1t=4Jk12-k1t,点F到直线Zi的距离为d=留过,=i4Jk12-k1t1+1-2JfcI2-kt|1+fc1t,J1+七7同理可得SMCD=2(七2-fc21|1+c2t,又左1+左2=0,且SAFAB=SAFCD,所以2Jfc12-fc1t1+c1t=2Jc12+c1t1-fc1t,整理可得，k12(1-t2)=1,即七2=占0,所以0vtv11又410且420,所以七2严，即F,即(z2_1)2o,所以t1,综上所述，%的取值范围为(O,I)U(12).【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题.