圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳.docx

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1、圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳【命题规律】1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容.一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题.多以选择、填空题的形式考查，难度中等.2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养.【核心考点目录】核心考点一:阿波罗尼斯圆与圆锥曲线核心考点二,蒙日圆核心考点三:阿基米德三角形核心考点四:仿射变换问题核心考点五:圆锥曲线第二定义核心考点六:焦半径问题核心考点七:圆锥曲线第三定义核心考点八:定比点差法与点差法核心考

2、点九:切线问题核心考点十:焦点三角形问题焦点弦问题核心考点十二:圆锥曲线与张角问题核心考点十三:圆锥曲线与角平分线问题核心考点十四:圆锥曲线与通径问题核心考点十五:圆锥曲线的光学性质问题核心考点十六:圆锥曲线与四心问题【真题回归】1.（2023天津统考高考真题）已知抛物线V=4信片,鸟分别是双曲线，普=Ka0）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点尸I,与双曲线的渐近线交于点A,若ZF1F2A=t则双曲线的标准方程为（）A.-y2=110C.x2-=1D.-y2=442. (2023全国统考高考真题)设尸为抛物线Uy2=4x的焦点，点A在C上，点8(3,0),若IAF1=忸川，则网=()A

3、.2B.22C.3D.323. (2023全国统考高考真题)已知椭圆C:+=1(aA0)的离心率为:，4，4分别为C的左、右顶点，4为C的上顶点.若则C的方程为(),X2y21rty2,1fy2CX2，A.+=IB.+-=1C.+=ID.+v=I1816983224.(多选题)(2023全国统考高考真题)已知。为坐标原点，点A(IJ)在抛物线UX2=2Py(P0)上，过点3(0,-I)的直线交C于P,Q两点，贝IJ()A.C的准线为y=TB.直线AB与C相切C.OPOOA2D.BPBQBA15.(多选题)(2023.全国.统考高考真题)已知O为坐标原点，过抛物线Uy2=2PX(P0)焦点户的直

4、线与C交于A,8两点，其中A在第一象限，点”(P,O),若IAW=IAf,则()A.直线48的斜率为2而B.OB=OFC.ABOFD.NoAM+NO8MV180。6. (2023全国统考高考真题)己知椭圆C:+=1(a0),C的上顶点为A,两个焦ab点为耳，尸2，离心率为T.过4且垂直于AF2的直线与C交于。,七两点，|OEI=6,则VAOE的周长是.7. (2023全国统考高考真题)设点A(-2,3),8(0m),若直线AB关于丁=。对称的直线与圆(x+3+(y+2)2=I有公共点，则。的取值范围是.8. (2023全国统考高考真题)已知直线/与椭圆g+J=1在第一象限交于A，B两点,I63

5、与X轴，y轴分别交于M,N两点，且IMAI=INBIJMNI=21则/的方程为.【方法技巧与总结】I、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程.有时还要注意轨迹是不是完整的曲线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量X或y进行限制.2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件.在椭圆的定义中，要求为归FJ；在双曲线的定义中，要求为0口41时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线E-g=1（0,方0）,arb小尸2分别为双曲线的左、右焦点，A,8为双曲线虚轴的上、下端

6、点，动点P满足震=2,PA3面积的最大值为4.点M,N在双曲线上，且关于原点O对称，。是双曲线上一点，直线。例和QN的斜率满足=3,则双曲线方程是：过F?的直线与双曲线右支交于C,D两点（其中C点在第一象限），设点M、N分别为ACF用、DF1F2的内心，则IMV1的范围是.核心考点二：蒙日圆【典型例题】例4.（2023全国高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆US+J=1（0）的蒙日圆为f+y2=6,则。=（）A.1B.2C.3D.4例5.（2023全国高三专题练习）“蒙日圆”涉

7、及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C：+f=130）的离心率为:，则椭圆。的蒙日圆方程为（）A.x2+y2=9B.2+y2=1C.2+y2=5D.2+y2=4例6.（2023春四川乐山高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔蒙日（图D是1819世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）.则椭圆uf=的蒙日圆的半径为（）54m图2A.3B.4C.5D.6核心考点三：阿基米德三角形【典型例题】例7.（

8、2023高二课时练习）抛物线上任意两点A,8处的切线交于点尸，称二RW为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点尸时，3具有以下特征：尸点必在抛物线的准线上；若经过抛物线V=4x的焦点的一条弦为AB,“阿基米德三角形”为一23,且点P的纵坐标为4,则直线A8的方程为（）.x-2y-=0B.2x+y-2=OC.x+2y-1=0D.2x-y-2=0例丸（2023全国高三专题练习）阿基米德（ArChimedes,公元前287年公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家.有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物

9、线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的1（即右图中阴影部分面积等于尸AB面积的|）.若抛物线方程为V=2px（p0）,且直线X=会与抛物线围成封闭图形的面积为6,则A.1B.2C.-D.32例9.（2023全国高三专题练习）阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，二皿为阿基米德三角形.抛物线X2=2Py（P0）上有两个不同的

10、点A（%,y）,8（2,%）,以A,B为切点的抛物线的切线PAPB相交于P.给出如下结论，其中正确的为（）（1）若弦AB过焦点，则人视为直角三角形且NAPB=90（2）点尸的坐标是（土产,当（3）二FAB的边A8所在的直线方程为。i+F）彳-2期-百再=0；（4）二。铝的边AB上的中线与轴平行（或重合）.A.(2)(3)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)核心考点四：仿射变换问题【典型例题】例10（2023全国高三专题练习）已知直线/与椭圆上+上=1交于M,N两点,当koMkN=42,ZkMCW面积最大，并且最大值为.记M（X1,h）,Mw,%）,当2MCW面积最

11、大时，x；+考=,y+y1=.p是椭圆上一点，OP=M）M+MN,当amon面积最大时，2+2=.例11.（2023全国高三专题练习）过椭圆上+f=1的右焦点尸的直线与椭圆交于A,B两43点，则SAoB面积最大值为.例12.（2023全国高三专题练习）已知椭圆C:+），2=1左顶点为A,2,。为椭圆C上两动点，直线尸。交AQ于E,直线Qo交AP于。，直线OPQQ的斜率分别为心心且E=-；,AD=DF,AE=EQ（九是非零实数），求丸之+/=核心考点五：圆锥曲线第二定义【典型例题】例13.（2023全国高三专题练习）设尸为抛物线Uy2=6x的焦点，过尸且倾斜角为60。的直线交C于A,8两点，则I

12、ABI=（）A.叵B.8C.12D.733例14.（2023全国高三专题练习）过抛物线V=4x焦点产的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为4,B,C.若A8=05,则线段BC的中点到准线的距离为（）A.3B.4C.5D.6例15.（2023全国高三专题练习）如图，过抛物线y2=2px（pO）的焦点户的直线交抛物线于点A,B,交其准线/于点&若尸是AC的中点，且IAF1=4,则线段AB的长为（）D.20T核心考点六：焦半径问题【典型例题】例I6（2023全国高三专题练习）已知点尸是双曲线二-二=1上的动点，F1,Fz为该双84D.6曲线的左右焦点，。为坐标原点，则的最大值为（）A22例17,（2023全国高三专题练习）己知双曲线C:-；=1（a0）的右支上的点P（%,%）满ai4足IwI=3|帆|（耳，用分别是双曲线的左右焦点），则+）。（C为双曲线C的半焦距）的取值范围是（）例18.（2023全国高三专题练习）已知点尸是双曲线*-=1（O,bO）上的动点，F1,F2是左、右焦点，O是坐标原点，若以:厘的最大值为则双曲线的离心率为（）A.3核心考点八：圆锥曲线第三定义【典型例题】例19.（江苏省南京市中华中学2023-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆C：+-=1的左、右顶点分别为A，A2,点P在C上且直线