圆锥曲线经典复习题.docx

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1、圆锥曲线复习题1.已知4(2,2),B(1,0),椭圆C：各，=1(Qb0)经过点A且焦距为4.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线1与椭圆。交于，N两点，求|嬴+嬴|的最小值；(3)如图是椭圆C旋转一定角度的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其对称中心的位置，并在图中画出来，(不必说明理由).【分析】(1)根据题意，先分析椭圆的焦点坐标，由椭圆的定义2=IRA1+1尸2川，求出。的值，进而求出的值，即可得答案，(2)根据题意，设M(M,y),N(x2,y2),线段MN的中点为PCW,yo),则有出M+BN=2BP,分直线1不垂直于X轴与直线1垂直于X轴两种情况讨论，分析可得2州

2、2=-xo2+2xo，将其代入BM+BN=2BP中可得IBM+BN=2雨=2j(%o-I)+仇I)=2(%o-I)+2,分析可得答案，(3)由椭圆的几何性质，先做两组平行的弦AAE/DG,再作出弦的中点，连接一对平行弦的中点即可得椭圆的中心.【解答】解：(1)根据题意，椭圆C：圣+，=1(ab0),其焦点在X轴上，焦距为4,则c=2,则焦点的坐标为历(-2,0),F2(2,0),椭圆C经过点A,则2a=FAMF2A=+2+16+2=42,则有q=2,则b2=a2-cz=2,X2y2故椭圆的方程为了+=1；84(2)设M(X1,y),N(X2,*),线段MN的中点为尸(X0,yo),则3M+3N

3、=2BP,当直线1不垂直于无轴时，设直线1的斜率为左，则直线1方程为y=左(-2),则有/c=，2jCU=X1+x2/2y0=y+丫2，x2x1rx12y12_-o-T-1一、,(X1-%2)(%1+、2)(yi+y?)(71+72)484,两式相减可得：J2?21+53=0,22,y22_184V8+4-1变形可得-+3Xk=0,则有k=一兴，84ZyO又中点尸(X0,yo)在直线1(即MN)上，所以yo=左(Xo-2),则jo=一手(XO-2),变形可得2jo2=-XO2+2o,Zyo当直线1垂直于X轴时，直线1经过点尸2,此时M(2,2),N(2,-2),其中点P为(2,0),也满足上式

4、.综合可得：2yo2=-xo2+2xo,BM+BN=2BP=2j(%o-1尸+(y0-24=2(x0-I)2+22,当Xo=I时，等号成立，即|俞+嬴I的最小值为企；(3)作图方案步骤如下：如图所示：先做两组平行的弦A5CDAE/DG,再分别作出四弦的中点M,N,P,。，连接MN,PQ,作直线MN,PQ的交点O,O即为所求.【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质以及标准方程的计算,属于难题.2.已知经过圆Ci：/+J=/上点(Xo,yo)的切线方程是XOX+yoy=r2XV(1)类比上述性质，直接写出经过椭圆C2：+=1(0)上一点(X0,yo)azbz的切线方程；2(2)已

5、知椭圆氏一+y2=,P为直线兄=3上的动点，过P作椭圆E的两条切线，6切点分别为A、B,求证：直线AB过定点.当点P到直线AB的距离为W时，求三角形PAB的外接圆方程.【分析】(1)利用类比推理，直接写出结果即可.(2)设切点为A(x,”)，B(X2,*),点P(3,力，写出AP直线方程，BP直线方程，X推出A,B满足方程：-+ty=1f得到直线AB恒过点(2,0),通过点P(3,力到直线AB的距离为(，求解当=1时，转化求解R1B的外接圆方程，当=-1时，求解三角形PAB的外接圆方程.【解答】解：(1)切线方程为：=1.a2b2(2)设切点为A(XI,)，B(X2,),点P(3,力，由(1)

6、的结论的AP直线方程：+y1y=1,BP直线方程：+y2y=1,p-+y1t=1X通过点P(3,力，,有仁?3，A，B满足方程：-+ty=1,+丫2Xt=1(1Q直线AB恒过点：2u即直线AB恒过点(2,0).Iy=O353+2tt-235又.已知点PU,力至IJ直线钻的距离为丁.蟹U=丁5-4?-1=0,(5z2+1)(Z2-I)=0,.*.r=1.当看=1时，点？(3,1),直线AB的方程为：x+2y-2=0.笈2,二。求得交点力(0,1),B4,仁),P(3,1).(E+F=-1设朋B的外接圆方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入得卜D+E+F=10,2D-E+5F=-29解得：朋

7、B的外接圆方程为x2+y2-3x-2y+1=0即朋B的外接圆方程为：(-)2+(y-1)2=.【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，切线方程的求法，类比推理思想方法的应用，是中档题.%23.如图，已知椭圆C+y2=,过点P(O,m)(m1)的直线/与椭圆C相切于第4一象限的点O是坐标原点，PN1oM于N.(I)求点M的坐标(用机表示)；(II)求eM+2QN的取值范围.【分析】(I)设直线Z：y=kx+m,(左0),联立椭圆的方程，得关于X的一元二次方程，由=(),得上=-力守，结合韦达定理可得出点坐标.(H)由(I)可得(W:%-2m2-1y=0,P(0,m),由点到直线的距离公式可得

8、IPN由勾股定理可得ON,由两点之间的距离公式可得QM，再利用对勾函数，即可得出答案.【解答】解：(I)设直线Z：y=kx+m,(0),y=kx+m由方程组%2，匕+y2=m2-1消去y得(1+42)x2+8mx+4(m2-1)=0,所以4=16(-m2+42+1)=0,得42+1=机?，即c=一2km由韦达定理可得m2+f解得W=玄口mz-1m2Vm2-11所以点坐标为(，mm(II)由(I)可得OM：X2m2-1y=O,P(O,m),所以IPN1=JJ4m2-374m2(m2-1)m4m2-3又因为|。M1=J史会,而由加1得：(1,2),故IoM+2QM的取值范围是2I,3).【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.