运用函数与方程的思想方法解题.docx

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1、运用函数与方程的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等.【核心考点目录】核心考点一，运用函数的思想研究问题核心考点二:运用方程的思想研究问题核心考

2、点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题【真题回归】1. （2023全国统考高考真题）已知椭圆C:J+=1（力0）的离心率为丁A，4分别ab3为C的左、右顶点，8为C的上顶点.若8%=T,则C的方程为（）2. （2023全国统考高考真题）已知直线/与椭圆3+工=1在第一象限交于A,B两点,/与63X轴，），轴分别交于M,N两点，且M=M/NI=2J,则/的方程为.3. （2023全国统考高考真题）写出与圆Y+/（2023.全国统考高考真题）曲线y=1nx过坐标原点的两条切线的方程为.=1和掌_3+（匕4）2=16都相切的一条直线的方程.4. （202

3、3全国统考高考真题）曲线y=丝二在点，-3）处的切线方程为.x+2【方法技巧与总结】1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的.在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方程问题.例如，方程/(X)=O解的个数可以转化为函数fa)的图象与X轴交点的个数，也可以参变分离，转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数.2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程(组)，进而求解方程

4、(组)，或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质.例如，在研究曲线的切线问题时，设出切点横坐标与，得到切线斜率A=/(%),切线方程为y-f(ii)=ffM(-0),从而将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标的方程问题.3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化.在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、转化不等式问题.例如，不等式/()o或/()。或X)InaX0.也可以考虑参变分离再求函数的最值.4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都有广泛的运用

5、.函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函数的图象与性质分析.转化问题，进而解决问题.方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持不变的等量关系，建构方程(组)，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决.【核心考点】核心考点一：运用函数的思想研究问题【典型例题】_OYI,Y1.方程/(x)=-1x+恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是.例2.(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=4-(-1)2*+2(0Mx2).(1)若/O)在0,2上为增函数，求实数。的取值范围；(2)若/(X)在0,2上最小值为4,求实数，

6、的值；(3)若/()在0,2上只有一个零点，求实数，的取值范围.例3.(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=e-加.(1)若=1,证明：当x0时，x)1;(2)若/()在(0,+8)只有一个零点，求的值.核心考点二：运用方程的思想研究问题【典型例题】例4.(2023全国高三专题练习)已知/()=iogX,g()=,其中1.(1)请利用y=1x的导函数推出/()导函数，并求函数力(x)=x)-焉的递增区间；(2)若曲线y=()在点(j(%)处的切线与曲线y=g()在点(w,g(8)的切线平行,求/(3)+巧(化简为只含的代数式)；证明：当“1时，存在直线/，使得/既是y=)的一条切线，也

7、是y=g()的一条切线.2例5.(2023春安徽滁州高三校考阶段练习)已知函数/(x)=x-J-r7.e-1(I)不需证明，直接写出/()的奇偶性：(II)讨论/(“)的单调性，并证明/()有且仅有两个零点：(III)设而是/()的一个零点，证明曲线y=在点A)处的切线也是曲线y=1nx的切线.例6.(2023吉林白山抚松县第一中学校考一模)若直线)，=履+力是曲线y=e*+的切线,也是y=P+2的切线，则A=()A1n2B.-12C.2D.-2例7.(2023全国高三专题练习)若直线N=爪+是曲线y=1nx+2的切线，也是曲线y=1n(x+1)的切线，则b()A.2B.4C.e2D.e2核心

8、考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题【典型例题】例8.(2023春广西高三期末)已知函数/(x)=Jf-2以+2+卜-2+1|,1m12-2m恒成立,求的取值范围.r+2x%b0）的离心率为田，其中一个焦点在直线y=I-3上.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1y=+r与椭圆交于RQ两点，试求三角形OPQ面积的最大值.例13.（2023春陕西咸阳高三陕西咸阳中学校考期中）已知数列4是各项均为正数的等差数列.（1）若4=2,且%，%,4+1成等比数列，求数列4的通项公式；（2）在（1）的条件下，数列4的前项和为S“，设2=一一+一一+一，若对任iiIa5i2t2n意的N*,不等式dZ恒成立

9、，求实数出的最小值.3,0x1例14.（2023春北京高三校考期中）已知函数力=1,x1IX（I）函数/（）的值域是.（2）若关于X的方程/（x）=-x+（eR）恰有两个互异的实数解，则的取值范围是【新题速递】一、单选题1. （2023广东茂名高三统考）已知三棱柱ABCA1BC的顶点都在球。的表面上，且AC=BC,ZACB=y,若三棱柱48C44G的侧面积为12+66,则球O的表面积的最小值是（）A.8B.12C.24D.321n(-x)-X,/(x)=2x-1-e2. （2023重庆万州高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数x1,则数列4是单调递减数列B.若OVa“V1,则数列4是

10、单调递增数列C.a=2时，an+2+4nD.4二时，+0C.若x2-3x+2W0,则2D.若R,则函数=+的最小值为2x+47. (2023春黑龙江哈尔滨高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习)已知等差数列4的前”项和为S“，若七=3,S7=7,则()A.an=5-nB.若勺+”=%+%，则,+3的最小值为tnn2512C.S“取到最大值时，z1=5D.设2=?，则数列出的最小项为-18. (2023春福建泉州高三泉州五中校考)数列4满足q=1,%=/),N,则下列说法正确的是()A.当/(x)=2x+1时，an2n-+1B.当/(X)=时，142X无+1C.当/(X)=时，%+为%+%)XD.当

11、/(x)=21nx+q时，数列%-J单调递增，数列%.单调递减三、填空题9. (2023春四川绵阳高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习)若函数/()在定义域。内存在非零实数%,使得q+1)=%)+1,则称函数/(x)为“壹函数”，则下列函数是“壹函数的是./(x)=4;/(x)=1nx;/(*)=e;/(x)=2-3._x2-2x+a10. (2023春四川成都高一校联考)已知函数/(X)=JX满足内，电wR，(2a-1)x+a,x-1当M2时，不等式(N-再)f(%)-f(2)0恒成立，则实数4的取值范围为.四、解答题I1(2023春安徽淮北高一淮北一中校考阶段练习)已知函数f(x)=/-2x+,且函数/(x)的值域为0,+8).(1)求实数的值；(2)若关于X的不等式/(3、)+阳-910在1,Q)上恒成立，求实数机的取值范围；(3)若关于X的方程型二立十二当-3Z=O有三个不同的实数根,求实数k的取值范围.HT1I3-1I12. (2023春上海