概率论与数理统计ch1.docx

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1、1.3条件概率、全概公式和贝叶斯公式一 .条件概率和乘法公式已知大事A发生,大事B发生的可能性多大？这就是条件概率，记作P（3A）.例1 一个家庭有两个小孩，假定男、女诞生率一样，令=这两个小孩一男一女, A=两个小孩中至少有一女孩.则两个孩子依大小排列的性别为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）的可能性是一样的.也就是说=（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）基本领件总数=4, 5的有利基本领件数户2,所以P（B）=24=12但若已知A发生了，即至少有一女孩，则考虑b发生的概率时，样本空间就缩减为Q=（男，女），（女，男），（女，女）,总数4=3,而有利基本领件（至少有一女

2、孩，且有一男一女）数us=2,从而PBA） = r- = -nA 3这里P（BA）P（因，说明预知4发生这个信息起了作用.此外,儿 AB nABn Pl”)=,所以a a n P(A)尸(例A)=殁P(A)定义 设4 3为试验的两个随机大事，且P（40,则称P(B | A)=P(AB)P(A)为大事力发生的条件下，大事8发生的条件概率.将上式变形得P（AB）=P（A P（BA）称上式为概率的乘法公式.乘法公式可以推广到个大事4, A2,，4的场合.即P(A Ai Ah)= P(Ai )P(Ai A1)P(A3 Ai Ai) P(A A Ai A-)条件概率的性质:例 2已知 p（A） = ；，

3、P（） = i P（A月）=；求：P(AB)9 P(BIA)例3.某零件寿命超过1年的概率为0.99,超过2年的概率为0.9,求已经使用1年后还能使用1年的概率。二.全概公式和贝叶斯公式互斥完备大事组:设4, 4,是随机试验下的一组大事，假如满意（完备性）（互斥性）(D 0a=/=1(2) AiAr (f/ 4 j=k 2,)则称4, A29为互斥完备大事组.或称4, 4,构成样本空间Q的一个划分.明显，若大事组Ai, 42,是。的一个划分，则任做一次试验，Ai, A29 -中必有且仅有一个发生.特殊地，可列样本空间。的全部基本领件构成。的一个划分；此外，对于任何大事A, A与A是。的一个划分

4、.定理 设4, 4,是一互斥完备大事组，P(4)0,户1, 2, , B是任一大事，则有 P(B) = P(Ai)P(BlAi)i=l称上式为全概公式.P(%)P Aj)P(j | B)=(2) 进一步若假设户(而0,则户1, 2,00P(Ai)P(BAi)i=l称上式为贝叶斯公式.例4某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%, 30%和35%,又这四条流水线的不合格品率依次为005,0.04, 0.03和0.02.现在从出厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率是多少？例5 (续例4)在上述例子中，若该厂规定，出了不合格品要追究有关流水线的经济责任

5、.现在在出厂产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问这件产品是第4条流水线生产的可能性有多大？例7假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，设C=被检验者患有肝癌, A=被检验者被推断患有肝癌.已知P(4C)=0.95, P(A | C) = 0.90, P ( C )=0.0004.现在若有一人被此检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率P(CA).解由贝叶斯公式PC I A)=尸(C)P(A f)_P(C)P(AC)P(C)P(AC)0.0004 0.950.00040.95+ 0.99960.1=0.0038因此，虽然检验法相当牢靠，但是被诊断为肝癌的人的

6、确患有肝癌的可能性并不大，这是一个值得读者进一步思索的结果.Exl26,27,28,301.4大事的独立性及贝努里概型一 .独立性1 .两大事的独立性定义设小人是任意二大事，若P(A* =尸(冷 P(B),则称大事4、6是相互独立的.例8掷甲、乙两枚匀称的硬币，设A=甲消失正面, 8=乙消失正面,证明：A, B相互独立.实际过程中，大事间的独立性，常常依据实际意义或试验的独立性(见本节二)来推断而不是依据定义来推断，据此简化概率的计算.例9甲、乙两射手向同一目标射击，已知命中率分别为092, 0.87,试求目标被击中的概率.若大事4 8相互独立，则A,豆相互独立；4a相互独立；才,3也相互独立

7、.2 .多个大事的独立性若尔B、。同时满意P(AB)=P(A)P(B)、P(AC)=P(A)P(C) (1)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C) (2)则称大事4B、。是相互独立的.由这个定义知道，若A、B、。相互独立，则A、B、C两两相互独立，但反之不然.例10见书上例(P35)定义 设Ai,A2,A为个大事，若对任意的A (2w)及11112W,有P(An An Aik)= P(An )P(Ai2) -P(Aik )则称大事4, A2,，4是相互独立的.若A1,A2,相互独立，则它们中任何A(2WA)个也相互独立,且有P(片 2. &)= P(1 )PG2)P

8、(短)人其中为可以是4了也可以是 乙j=l,2,/二 .贝努里概型1 .概念设一个试验E由两个可能的结果A与才，并且P(A)=p (0pl),P(A) -p-q,将这个试验独立地重复次，构成一个试验，记作En,称这样的试验品为n重贝努里(HemoiiHi)试验，有时简称为贝努里试验或贝努里概型.2 .二项概率公式我们来确定重贝努里试验中大事A恰好发生k次的概率.这概率我们记为 b(k;n,p).设Bk=n重贝努里试验中大事A恰好发生k次, 4表示在第/次试验中A发生，则P(4) = p,，= 1,2,，从而勺可分解成个两两互不相容的大事之和Bn =(A-AkAku )U(A1A2 Afc+1j

9、t+2 Ar)UU(A . A,?_女A_r+ An)由试验的独立性知，上述分解式右端的每个大事的概率均等于尸儿)= p,于是，由概率的有限可加性知b(k; n, p) = P(BQ = C。pkqn-k , k = 0,1,2,意到上式是二项式(q+px)绽开式中必项的系数，因此称之为二项概率公式或二项分布.明显b(kp)= Cp，J(P + =1k=Ok=0这个结果是自然的，由于必定大事的概率为L此外P(n重贝努里试验中大事A至少发生1次)=1-仇0;,p)=lg由于0vpvl,从而Ovqvl,从而上式当8时，其概率的极限为1.这个结果的概率意义值得我们留意.它说明，对于随机大事A,无论其

10、在一次试验中发生的概率多么小，只要不为零，则在大量的重复试验中A几乎是确定会发生的.这就警示我们对于那些发生的可能性很小，但一旦发生将会造成巨大损失的大事，肯定不能掉以轻心.要常常检测，实行措施，把它发生的概率削减到零.例11金工车间有10台10千瓦的机床，假定机床的使用状况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12分钟.现因当地电力紧急，供电部门只供应50千瓦的电力，问这10台机床能正常工作的概率为多大？解10台机床在同一时刻是否“开动”是w=10, jp=1260=l5的贝努里试验，以X记某一时刻开动的机床数，则P(X = k) = * -Z = 0,12,10 0.994例12验证体育竞

11、赛中五局三胜制是公正的竞争.证明假设甲在每一局中获胜的概率是1/2,且各局竞赛是相互独立的.而甲获胜=打3局甲胜+打4局甲胜+打5局甲胜,所以2 2由此可见，“五局三胜制”是公正的竞争.P(甲获胜)=-+C；：2 )2z j 3-2z+ C：2fY-2f此外，大事10台机床能正常工作等价于大事同一时刻开动的机床数不能超过5台,即P(XW5).所以P( 10台机床能正常工作)=P(X5)5= P(X =k) =k=03 .几何分布在贝努里试验中，A首次胜利消失在第k次试验的概率记为g(k;p).设=A首次胜利消失在第次试验, 4=第i次试验中A胜利,则=AiA2- Ak_x Ak所以P(CQ =

12、 P(4 )P(&)P(4 )P(4) = pqk-g(k;p)=pqk l ,=l,2-上式是几何级数的一般项，因此上式称为几何分布.明显88/11g(左;p)= pqki =p- - = 1k=k=1_q例13某人参与篮球投篮训练，一旦投中，即停止训练.已知该人投篮命中率为0.7,求该人训练中至多需投篮3次的概率.解这是几何分布问题，p=004.所以所求概率为3n9 g(K004) = 0.7 0.3 + 0.7 0.3 + 0.7 0.32 = 0.973k=1.3条件概率、全概公式和贝叶斯公式1.条件概率:P(3A) =P(AB)尸(A)2 .乘法公式：P(A) =P(A) PB A)

13、3 .乘法公式的推广:P(A A2 An)= P(Ai )P(A2 A)ip(43 Ai A2) P(A Ai A2 A-)004 .全概公式： P(B) = P(Ai)P(BAi)i=5 .贝叶斯公式：s、 P(Aj)P(BAj)P(Ai)P(BAi)=6 .二大事相互独立 P(腑=P(A)P()7 . A. B、。是相互独立 P(AB)=P(A)P(B)、P (AC) =P (A) P (C)(1)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C) (2)8 .二项概率公式或二项分布：b也；n, p) = P(Bk) = Cqk ,左=。4,9 .几何分布：尸(CQ = P(4)P(&)P(4)P(AQ = pEx 8, 9,16,17(1),Ex 26, 28, 31, 33Ex 31,33,36, 40