2024届一轮复习人教A版 用空间向量研究夹角问题 作业.docx

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1、课时分层作业(十)用空间向量研究夹角问题A组基础合格练一、选择题1.若平面。的一个法向量为A1=(1,0,1),平面的一个法向量是=(3,1,3),则平面与f所成的角等于()A.30oB.45C.60oD.90D因为曲-E=(1,0,1)(-3,1,3)=0,所以a_1,即平面a与S所成的角等于90.R5226666225位22U22AAB=(2,一2,-1),CD=-2,-3,-3),而CGS(AB,CD)2 .已知力(0,1,1),5(2,-1,0),C(3,5,7),次1,2,4),则直线48和直线5所成角的余弦值为()红丝=丁兰有=曜I故直线四和口所成角的余弦值为嚓.ABCD32266

2、663 .如图，在三棱柱1%43G中，44底面力欧，44=3,AB=AC=BC=2,则力4与平面47所成角的大小为().30oB.45oC.60oD.90A取46的中点，连接切，分别以为,DC,然所在直线为X轴，P轴，Z轴建立空间直角坐标系,可得4(1,0,0),4(1,0,3),故款=(0,0,3),而笈(一1,0,3),6(0,3,3),设平面力区G的法向量为曲=(a,b,c)f根据团月8=0,m力G=0,解得困=(3,3,2),cos5、AA)=*故aAAi44与平面451G所成角的大小为30,故选A.4 .已知力吐4笈G是各棱长均等于a的正三棱柱，是侧棱CG的中点，则平面力比与平面力笈

3、夹角的大小为()A.45B.60oC.75D.30A如图所示，以力为原点，以垂直于力C的直线为X轴，以力C所在直线为y轴，以力4所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系.3吐46G是各棱长均等于&的正三棱柱，是侧棱CG的中点,设平面力笈的法向量为A=(x,y,z),VnAD=Q,又Y平面47的法向量为=(0,0,1)，Acos皿，n)a*n-2mn3+1+4-2,则平面力仇:与平面月打夹角的大小为45.故选A.5.(2023江西临川一中高二期中)已知在正方体4%4844中，为棱/U的中点,则直线应与体对角线做所成角的余弦值为()A.隼BTC,D,0IoooA以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标

4、系，不妨设正方体力伏笫4笈的棱长为1,力:则(0,0,0),8(1,1,0),4(0,0,1),41,0,目，则砺=0,0,丽=(一1,-1,1),又因为异面直线所成的角J的取值范围为0W90,所以直线,与体对角线创所成角的余弦值为隼.故选A.10二、填空题6.如图所示，已知两个正四棱锥尸力成力与G4%刀的高分别为1和2,46=4,则异面直线四与力所成角的余弦值为.坐由题设知，力仇是正方形，连接/BD,交于点0,则/U1曲连接图贝IJN过点0.由正四棱锥的性质知/U1平面被口，故以。为坐标原点，以直线。，DB,。分别为X轴、y轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1),A(2y,

5、0,0),。(0,0,-2),B(0t2y2,0),J=(-22,O,-2),=(0,22,-1).于是cos面,=2=半，AQPB异面直线力。与%所成角的余弦值为雪.y7.在正四棱柱力以笫4AC中，44=247,则直线必与平面为笫所成角的正弦值等于2Z以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设力4=246=2,则(0,0,0),J(0,1,0),庾1,1,0),6(0,1,2),则而=(0,1,0),=(1,1,0),而=(0,1,2).设平面应)G的法向量为=(x,y，z),则A-1如，nA.DC1uAB=Q,则.uAP=Q,fxy=O,所以有IC八令尸一2,得平面切G的一个法向量为A=

6、(2，-2,1)y+2z=0,设直线0与平面8/笫所成的角为Ot则Sin=cos0),如果平面。与平面与的夹角为45,则a=.12f平面xy的一个法向量为n=(0,0,1).设平面Q的法向量为u=(x,y,z),又ABO=(3,4,0),AP=(3,0,a),3x4y=0,(aa即即3x=4y=az,取z=1,则O=1，T,1而COS0,.*.a=.b三、解答题9.四棱锥足力砥9的底面是正方形，依_1底面力用力，点、E在梭PB上.(1)求证：平面力微1平面侬(2)当PgIB且E为小的中点时，求然与平面板所成角的大小.解(D证明：如图，以。为原点建立空间直角坐标系xyz,设46=a,PD=h,则

7、JUO,0),B(a,a,0),C(0,a,0),O(0,0,0),P(0,0,力)，AC=(a,a,0),DP=(0,0,A),DB=(a,a,0),而苏=0，ACD=O,：,AC1DP.AC1DB,又DPCDB=D,DP,DBU平面PD&.C1平面板，又4X平面/fC平面4C1平面PDB.当加=也科且E为阳的中点时，PS,O,y2ci),zQc?,a,坐，,设/C即=0,4|,孑0),连接施；由知/1C_1平面JW,:ZEO为力与平面所成的角，,E=cha,一乎，,g(0，0,一坐，.N力W=45。，即力与平面/Y厉所成角的大小为45。.10.如图，四棱锥力时的底面为菱形，刃小底面ABCD

8、,且PD=AD=2,N阴g600.设为心的中点，平面必8与平面月簿的交线为1.(1)求异面直线BP与力E所成角的余弦值；(2)若直线/上一点E满足平面力比与平面D夹角的大小为宁，试求4的长.解连接切，取加的中点M连接例/.底面力版为菱形，DA460,4物为等边三角形，：.DM1AB.YDCAB,：.DM1DC.又；PD上底面ABC/)CU平面ABCD,DMU平面ABCD,:PD1DC,PD1DM.以为坐标原点，分别以OMDC,以所在直线为人y,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),YPD=AD=2,1(3,-1,0),(0,0,1),M3,1,0),P(0,0,2),C(0,2,

9、0).=(-3,-1,2),=(-3,1,1).设异面直线即与所成角为8,异面直线BP与力E所成角的余弦值为空.过点尸在平面PCD内作直线1平行于CD.：CD/AB,：.1/AB,即直线/为平面为H与平面汽力的交线，由(D可知而=(一/，3,0),设以0,4,2),则/=(0,A-2,2).设平面/6?的法向量为m(a,b,c),AC=-ya-3b=0tmCF=22c=0,取Z=1,得0=(小,122-).设平面力%的法向量为=(M/,z),nAC=3+3y=0,1则，取y=1,得=(艰，1,2),nAE=3xy+z=0,平面4?C与平面力。7夹角的大小为?，平面力比与平面D夹角的大小为宁时，

10、点Z7的坐标为（0,2,2）,则防=（-3,3,2）,则胪的长为产JFrF踵=4.B组能力过关练1.（多选题）（2023山东威海高二月考）在长方体力及笫HB,CD中，力8=2,AD=3,AA,=1,以为原点，以总，茄而分别为X轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A.丽=(一3,-2,1)B.异面直线1D与BD,所成角的余弦值为零OOC.平面4C的一个法向量为(一2,-3,6)3D.平面4C与平面DD的余弦值为7ACD由题意可得4(3,0,0),6(3,2,0),C(0,2,0),D,(0,0,1),A,(3,0,1),C(0,2,1),B,(3,2,1).对于选项A

11、,BDi=(-3,-2,1),故A正确.对于选项B,)=30,1),而=(-3,2,1),所以COS(),而=2竺2M*IBD,I-8-135-Tb1435，所以异面直线H与物,所成角的余弦值为噤,故B错误.对于选项C,设平面HC的一个法向量为A=5,六z),nDA,=0,由的=(3,0,1),DC=(0,2,1),则，.nDC=0,3tz=0,所以1取z=6,得A=(-2,-3,6)故C正确.2y+z=0,对于选项D,由选项C可得平面C的一个法向量为=(一2,-3,6),又平面4DD,的一个法向量为彳(0,1,0),i/nm33所以CoS(,m)=W7=-3nm1X77又因为平面片C与平面D

12、D,的夹角为锐角，所以平面1C与平面HDD的夹角的余弦值为7故D正确.故选ACD.2.(多选题)(2023山东青州第一中学高二月考)如图所示，设,尸分别是正方体旭AiBCD1的棱CD上的两点,且力8=2,EF=1下列说法正确的是()A.三棱锥如笈所的体积为定值B.异面直线A与防所成角的大小为45C.1平面氏牙D.直线与平面8)所成角的大小为401I12AB对于A选项，叫-台尸=附-4、=三S八八”/、=WXJX2X1X2=j,为定值,o1S1AbrZCOZo故正确;对于B选项，异面直线BD与哥所成的角与直线Bi仄与Cn所成的角为同一个角，即异面直线台4与尸所成的角的平面角为NG=45,故正确；

13、如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系灯z,设,(0,，,0),则产(0,Z+1,O),y=0,x+y+z=0,对于D选项，丽=(一2,-2,0),平面氐即为平面4区口，设平面4吕的法向量为力=(x,yz),n46=0,则，nDBi=G,取x=1,则A=(1,0,1),所以平面台郎的一个法向量为A=(1,0,-1).设直线与平面氐1所成的角为则Sin9=ICOS，ri)|-21+-20+0-1-22+-22+0120+-12=1,所以夕=30,故错误:对于C选项，由D选项可知直线氐与平面所成的角为30,故错误.故选AB.3.已知菱形月四中，乙觥=60,沿对角线4C折直之后，使得平面胡C1平面分G则平面及力与平面物夹角的余弦值为乖如图，取力C的中点,分别以劭，蜴为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，设菱形力用力的边长为2,则力(1,0,0),6,(-1,0,0),(0,3,0),M0,0,3).设平面/CT的法向量为D=(x,y,Z),-.-3z=0,(-1,0,-3),BD=S,3,-3),S11-jy-yz=O,令z=5,则尸，5,x=-3,即A=