(人教A版选择性必修第二、三册)7.5正态分布-(教师版).docx

《(人教A版选择性必修第二、三册)7.5正态分布-(教师版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(人教A版选择性必修第二、三册)7.5正态分布-(教师版).docx（19页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、正态分布知识剖析1正态分布的概念若连续型随机变量f的概率密度函数为f(%)=忌He，%(-8,+8)其中。，为常数，且。0,则称%服从正态分布，简记为XN(f2).f(x)的图象称为正态曲线.2正态分布的期望与方差若f,2),贝IJE()=fD(f)=2;3正态曲线的性质曲线在%轴的上方，与轴不相交;曲线关于直线=对称；曲线在=时达到峰值不占至；曲线与轴之间的面积为1；当时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线,向它无限靠近;曲线的形状由。确定,。越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；2TT。越小，峰值越大，曲线越“瘦高1表示总体的分布越集中.2TT4若XN

2、(f2),X取值不超过的概率P(X%)为区域A的面积，而P(X5)为区域B的面积.假设X，。2),对于给到的cN*,P(-fa%+fa)是一个只与Zc有关的定值，特别地,P(x+)=0.6827P(-2X+2)=0.9545P(3X+3Cr)=0.9973在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(,d)的随机变量只取(一3。，+3G之间的值，并简称之为30原则.6标准正态分布在标准正态分布表中相应于%。的值(%0)是指总体取值小于心的概率，即(0)=Px%0)-,yx%00时，则(%0)的值可在标准正态分布表中查到；0时，可利用其图象的对称性获得(%。)=1-(%。)来求出，N(,吟与N(O,1

3、)的关系：若NQi,2),则=WN(O,1),有P(f)=F()=(空;(九)若fNQI,2),贝UP(X1xx2)=(字)-(亨).经典例题【题型一】正态分布的概念与性质【典题1已知三个正态分布密度函数Pi(X)=(-i)22i(%R,i=1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.1=2=3B.1=23D.r2=3【解析】因为=是对称轴，观察图象可知：12=3，而y=1(%)与y=02(%)的图象可以相互平移得到，且y=93(%)的图象显得更“矮胖”，故外=23.故选：BD.【点拨】在正态分布的密度函数曲线/(%)=MT/B,其中直线=是其对称轴，。确定曲线形状,。越大曲线越“矮

4、胖”，。越小，曲线越“瘦高”.A. 【典题2】已知连续型随机变量XjN(%,2)=23),其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是B. P(X12)P(X33)D. P(X12)P(X23)E. P(出一2iXii+2i)=P(f+1-2f+1Xf+1i+1+2,+1)(i=1,2)【解析】对于4尸(Xi2)是正态分布密度函数y=(%)在第二条虚线左侧与%轴围成的部分，显然大于0.5,P(X2尸(乂21)，故4错误；对于8：PX22)=P(X3)=点则尸(X2)=P(X3的),故B错误；对于CP(X12)0.5=P(X23),故C错误；对于D：PQ1t-2iXii-2i)=P(i+1-2i+1X

5、i+1i+1+2f+1)(f=1,2)成立，故。正确.故选：D.【点拨】在正态分布中，概率P(X%)相当于看对应的“面积”；若XNO22),对于给到的cN*,p(-k一0)=2P(VX乃在R上单调递增【答案】BC【解析】A.曲线y=x)与X轴围成的几何图形的面积等于1,因此A不正确；B.函数危)图象关于直线k对称，可得3正确；C.,.P(X-)=P(X-)=2P(X+)+P(+),因此。正确;D.函数/。)=尸(XX)在R上单调递减，可得。不正确.故选：BC.【解析】根据正态曲线关于x=对称，且越大图象越靠近右边,所以r2=3,Be错误；又。越小数据越集中，图象越瘦长，所以1=2V3,AO正确

6、.故选：AD.3(*)设随机变量XNO,7),若P(X4),贝J()A.4=3,DX=7B.=6fDX=7C.4=3,DX=7d.=6,DX=7【答案】A【解析】随机变量XN(,7),若尸(X4),贝U=3,DX=7,故选：A.4()设XN(M,及)，YN(g,港)，这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是()A.P(Y%)P(Y%)B.P(X1)P(X2)c.若to,则尸(Xt)p(yt)D.若to,则尸(Xt)p(yt)【答案】D【解析】,正态分布密度曲线图象关于A对称，*2,由正态分布曲线的对称性可得：若云0,则尸(XOJP(P).故选：D.【题型二】正态分布的计算问题【典题1】已知随机

7、变量f服从正态分布N(If2)f若P(f2)=,P(01)=1-3,则尸(fO)=()【解析】随机变量f服从正态分布N(If2)fP(2)=,P(O12)=m,P(8X10)=九，则+的最小值为.【解析】随机变量X服从正态分布XN(IO,。2),.P(X10)=由尸(8X10)=九，得尸(IOX12)=九，(留意到8,12的平均数就是=IO)又尸(X12)=m,11-t.m+n=且TnO,n0,2则4+三=(三+1)(2m+2几)=6+/6+2=6+42.mnmnyv/ymn当且仅当竺=网，即Tn=U,九=直匚时等号成立.mn22+工的最小值为6+42.mn故答案为：6+42.【点拨】本题为正

8、态分布与基本不等式的结合题，要对题中的数值8,10,12有所注意；利用基本不等式“若QO为0,则Q+b2F”时要注意是否满足“正、定、等，三字.巩固练习1()若随机变量X服从分布XN(2,。2),且”(x3)=尸(1X2),贝UP(X3)=()【答案】B【解析】设尸(X3)=%,贝Up(IX2)=2%,根据对称性，P(2X3)=2%,1 1贝IJP(X2)=3%=士，P(X3)=%=26即尸(X3)=.P(X3)=66故选：B.!()若随机变量XB(3,p),VN(2,/),若尸(X1)=0.657,P(0V4)=()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【答案】A【解析】:尸(XD=0.6

9、57,1-(1山)3=0.657,即(I-P)3=0.343,解得p=0.3.P(0y4)=IP-=上等W2故选：A.3(*)2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2019年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量f服从正态分布fN(IOOOe2),若尸(f1200)=a,P(800f1200尸,所以F(1200尸m所以尸(800vv1200尸1-2=Zb所以2o+A=1,a0,b0,所以工+=(工+)(2+A)=4+，+器4+2口用=8,时取abbyab-ab-:的最小值为8.ab故答案为：8.【题型三】正态分布的实际应用【典题1为了研究新冠疫

10、情期间学生上网课的学习效果，学生返校复课后，某市对高三年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度曲线函数为f(%)=焉厂制，(-,+8),则下列说法正确的是()A.本次调研考试的平均分为85B.本次调研考试的方差为81C.随机抽查一名学生，其成绩在125分以上的概率比成绩在45分以下的概率大D.本次调研考试，其成绩在(75,85)和在(85,95)的人数大致一样多1(X-85)2【解析】由正态分布密度曲线函数为/(%)=刀经e一-162-,%(-,+8),所以平均数=85,方差02=81,所以选项4、B正确；又P(%125)=尸(45),所以成绩在125分以上的概率等于成

11、绩在45分以下的概率，选项C错误；根据正态分布的对称性知，成绩在(75,85)和在(85,95)的人数大致一样多，选项。正确.故选：ABD.【点拨】(%一,)2对正态分布的密度函数解析式/(%)=舟H?一2N有些了解,才确定22=162；其中期望为“，可理解为数据中的平均数，而。是标准差，d才是方差，看数据的稳定性就看它了；比较两个区间成绩的概率或人数，看在正态分布中对应的概率便可.【典题2】甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(%,肾)，N(如,超)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是()A.甲类水果的平均质量1=OAkgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数&=199【解析】由图象可知甲图象关于直线=04对称，乙图象关于直线=0.8对称,.1=0.4,2=0.8,(水果的平均质量就看期望)故a正确，C正确，甲图象比乙图象更“高瘦”，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；(质量集中于平均值，指的是在平均值附近概率要大些，形状更“高瘦，即标准差必更小)乙图象的最大值为1.99,即高=1.99,.21.99,故。错误.(要了解正态分布密度函数解析式确定最大值是高，而的是标准差)故选：D.【点拨】在正态分布的应用中，对每个数据