2024届一轮复习人教A版 空间向量应用综合问题 作业.docx

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1、作业45综合问题1如图1,在直角梯形力四中,Z夕C2XgIN物场90,NaM5,为对角线劭的中点.现将力龙沿M折起到板的位置,使平面必以_平面BCD,如图2.图1图2求证:直线阳！平面BCD;求异面直线必和星所成角的余弦值.2 .如图,在四棱锥P-ABCDE四边形是矩形,点在以2分为直径的圆上,平面为平面ABCDiPA2PB-H,平面PBCC平面PAD=m.证明：直线平面如C;当三棱锥尸TM体积最大时,求二面角C-PB-A的余弦值.3 .（2023山东德州二模）九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是算经十书中最重要的一部,成于公元一世纪左右,是当时世界上最简练有效的应用数学专著

2、,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在九章算术商功篇中提到“阳马”这一几何体,是指底面为矩形,有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,现有“阳马”P-ABCD,底面为边长为2的正方形,侧棱Ra平面ABCDyPA2E,分分别为边BC,上的点,CE=CBtCF=CDiM为AD的中点.若几W,证明:平面/W1平面以代是否存在实数九使二面角尸T的大小为45。？如果不存在,请说明理由;如果存在,求此时直线创与平面的所成角的正弦值.4 .如图,在四边形PDCB中,PD/BQBA1PD,PA=AB=BC=1A*.沿曲将94翻折到加的位置,使得S*（1）作出平面S。与平面SBA的交线1,并证明平面CSB;点0

3、是棱SC上异于S。的一点,连接QD,当二面角0-的余弦值为时,求三棱锥Q-BCD的6体积.5 .如图,在直角梯形ABa）中,AB/DC,ZABCQo,AB丸DCeBC,E为四的中点,沿班将班折起,使得点A到点，位置,且PE1EB,为烟的中点,N是以上的动点（与点夕,。不重合）.证明：平面包睨1平面PBC;是否存在点Ni使得二面角小酊物的余弦值为粤?若存在,确定N点位置;若不存在,说明理由.66 .如图,在四棱锥P-ABCD,为，平面ABCD,底面四必是菱形,PA=AB壬,NBADwO.求证:直线M_1平面PACy求直线分与平面B4所成角的正切值；设点在线段PC上,且平面%与平面MBA夹角的余弦

4、值为申求点到底面ABCD的距离.作业45综合问题1 .证明因为平面物11平面BCD,且平面JW平面BCD=BD,又由图1可知AB=AD,且为切中点,所以4口1M,即PE1BD.又在平面PBD,所以比1平面BCD.解建立空间直角坐标系，以为坐标原点,旗所在直线为X轴,在平面龙C且垂直BD的直线为y轴,露所在直线为Z轴,如图所示.由题图1可知M为等腰直角三角形，所以/ADB=/DBC=/DCB45,所以加为等腰直角三角形.因为AD=ABE,所以PD=PBE,所以DB=DCKPB2+PD?2所以夕(1,0,0),/?(-1,0,0),A0,0,1),C(-1,2,0),所以丽二(2,0,0),PC-

5、(-1,2,-1),所以异面直线物和无所成角的余弦值为唱62 .证明因为四边形力夕是矩形,所以加，口因为点在以42为直径的圆上，所以加_1俄CDCDP=D,CD,物七平面PDCi所以411平面PDC.因为AD/BC,力尔平面PBC,北平面PBC,所以加平面阳C因为平面次平面PADf,所以AD/mi所以直线旌1平面PDC.解设PD=x,所以ADH4-/(0x2),x4-2.因为平面阳_1平面ABCD,交线为AD,且AB1ADi所以4及1平面PAD,而=平面PAD,所以AB1PA.在直角三角形PAB中，PBEPA2则ABM.因为Vp-abd=Vb-pad,所以VP-ABD=VB-PAD=，SPAD

6、*Xy/%2(4-%2)f,-=,36623当且仅当即*时,等号成立，此时PD=AD,PeM.如图,建立空间直角坐标系,可得AO,0,2),/(X0,0),B2f3,0),C(0,3,0),所以方二(,O,2),B-(O,3,O),CB-(2,O,0),玩=(O,3,2).设平面B4夕和平面阳。的法向量分别为In=(X,jo,Zo)和n=(x,y,z),由口%二。，则1-缶。=0,取刘得畔(,(U),由卜殴=0,则=,取尸一2,得n(0,-2,6),(nPC=O,(3y-2z=0,-6_/3021010由图知二面角。-必T为钝角，所以二面角。一阳T的余弦值为噂.3 .证明当XW时点笈分别为园必

7、的中点.连接4分与砌交于点G,在AABM和ADAF中，AB=AD,AM=DF,BAM=ADFRC,所以倒些物片于是NABM=NFAD而/用小/物490,所以NN砌+N物Q90,故N4K0。,即BM1AF.又为_1平面ABCD,小平面ABCD,所以PA1BM.因为BM1PA,BM1AF,为U平面PAF,4平面PAF,PAHAF=A,所以颤1平面PAF.又因为小平面PBM,所以平面/W1平面PAF.解存在.连接4C交麻于点Q,连接/%记必与4。交于点。如图.X因为无二几方,而二几而，所以EFBD,因为AC1BD,所以AC1EFi从而PQ工EF,所以NZ配为二面角P-EF-A的一个平面角.由题意，Z

8、AQP5o,从而AQ=PA2所以C,-22-2.于是人身=丝=半=2F,CBCO2，所以CF=CEWBE=DF2如图，以荏,通,左的方向分别为X轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系，于是P(0,0,2),(2,22-2,0),F(22-2,2,0),B(2,0,0),MO,1,0),前二(2,1,0),PE-(2,22-2,-2),PF-(22-2,2,-2),设平面的的法向量是n=(x,y,z),由P1PE=2%+(22-2)y-2z=0,(HPF=(2V2-2)x+2y-2z=0,=%(Z=2x,取x=1,贝IJy=1,z2,贝IJn=(1,1,2).设直线融与平面的所成的角为外则Si

9、n-/cosnrIInBM4510即直线砌与平面的所成角的正弦值为4 .证明如图,延长BA,相交于点后连接角则M为平面s?与平面SBA的交线1,在中，SA=I,A*,S吟,贝IJSA+AJ=SJ,所以SA1AD.由SA1AD,AD1AB,SAHAB=A,得41平面SBA.又BC/ADi所以况工平面SBA,所以比工由PD/BC,AB=BC=I,AD得ZFp1所以AE=AB=SA,所以SE1SB.又因为BCCSB=B,所以近1平面CSBf即平面CSB.(2)解由(1)知,S4，月打,力，Z以点力为坐标原点,4/8,4S所在直线分别为X轴、P轴、Z轴建立空间直角坐标系,如图所示.易得z(o,0,0)

10、,0,o),8(0,1,0),S(0,0,1),C(1,1,0),则丽二(|,-1,),SC-(1,1,-1).设页二几元(0(41),贝IJ0(九九14)，则的二(九4T,14).设平面QBD的法向量是n=(x,y,Z),x+(A-I)y+(I-A)z=0,1C-y=0,令X2则n=(2,1,富).又m=(0,0,1)是平面CBD的一个法向量,由csS,m)q1=解得几.所以。是SC的中点.6则Vq-BCDSBCDX-SA%-X1X1)X-.5 .证明因为也1微和1切旗G项文；所以以1平面旗OZ又比t平面EBCD,故PE1BC.又BC1BE1BECPE=E,故6U1平面PEB.因为应仁平面P

11、EB,所以EM1BC.又等腰三角形PEB,EM1PB,BCPB=Bi故现工平面PBC因为包仁平面逸故平面E1平面PBC.解存在.假设存在点N,使得二面角6-外力的余弦值为4.O以为原点,期M所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系.设PE=EB畛,BN=InQ2),则(0,0,0),M2,典0),6(2,0,0),D(0,2,0),AO,0,2),0(2,2,0),M1,0,1),则两二(1,0,1),丽二(2,0,0),前二(2,m,0).设平面碰V的法向量为p=(x,y,z),由(PEM=%+z=0,IPEN=2%+my=0,令x=1,得P二(1,W1.)m又平面跖V的一个法向量为

12、n=(0,0,1),故cs，/奇_0+0T1J12+(-)2+(-1)20+0+1巫,解得/Z7p1.故存在点N使得二面角小群物的余弦值为粤,N位于欧的中点.6 .证明由菱形的性质可知龙，力C由线面垂直的定义可知BD1AP,且APVAC=Ai由线面垂直的判定定理可得直线应1平面PAC.解以点A为坐标原点,ADi所在直线分别为y轴、Z轴,在平面力为内与力垂直的直线为X轴建立空间直角坐标系力XyZ如图所示,则A0,0,2),(3,1,0),/(0,0,0),/2(0,2,0),则丽二(E,1,-2),平面PAD的一个法向量为In=(1,0,0),设直线必与平面为所成的角为rt/*m36ZjV1Oa

13、sin15贝Usinu-/cosPB,m)/=,cos二一,tan=.844cos5PBm解由于Ao,0,2),C(3,3,0),(3,1,0),J(0,0,0),PC-(3,3,-2),CB=(0,-2,0),B-(3,1,0),PB-(3,1,-2),PM-2PC-(32,32,-22)(0A1),W=MP+PB-(3-3A,1-32,22-2),则点的坐标为(75九3九-202),设平面收的法向量为n=(x,八z),则He里=，(n1MB=0,所以p2y1=0,t(3-3)x1+(1-3)y1+(2-2)z1=0,取不2则m=(2,0,3).设平面MBA的法向量为2=(x2,乃,z2),则卜2.9二，(n2*MB=0,所以(3x2+y2=0,1(3-3)x2+(1-3)y2+(2-2)z2=0,取X2-1,贝J21,-V3,g,由平面小与平面MBA夹角的余弦值为*2+噌1+3+(i-)2整理得1422-19A64),解得XW或几,由点的坐标易知点到底面加口?的距离为1或3