专题16 圆锥曲线中的一类定值问题（原卷版）.docx

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1、1.(2023辽宁大连二模(理)相反数的直线交抛物线。于A、专题16圆锥曲线中的一类定值问题一、结论在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中，曲线上的一定点尸(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.221、在椭圆中：已知椭圆二十=1(1bO),定点P(X(Pyo)(玉)为0)在椭圆ab上,设A,5是椭圆上的两个动点,直线,PB的斜率分别为怎a,心小且满足X4+左依=O则直线AB的斜率kAB=丁2Q%222、在双曲线c：01=1(o,人o)中，定点P(X(PyO)(%OyO0)在双曲线上,ab设A,5是双曲线上的两个动点，直线E4,P

2、B的斜率分别为您心5,且满足X女尸a+左依=则直线AB的斜率kAB=-3a%3、在抛物线C：y2=2p(p0),定点P(XO,%)(%0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线,FB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kpA+kpB=2则直线AB的斜率kAB=-%二、典型例题)已知点夕在抛物线C：V=4x上，过点尸作两条斜率互为6两点，若直线AB的斜率为-1,则点尸坐标为()A.(1,2)B.(1,-2)C.(2,22)D.(2,-22)【答案】A【详解】k=%一%=4二设点P(Xo,%)、A(,)B(x2,y2),则直线A5的斜率为AB3y1+j2,可得%+%=4,44同理可得直线7的

3、斜率为ZPA=，直线M的斜率为ZPB=，%+M%+%kpA=-kpB，所以，(%+%)+(%+%)=0，则%=-，？%=2,：.0=1,因此，点P的坐标为(1,2)故选：A.另解：在抛物线C：y2=2px(p0)9定点P(Xo,%)(%0)在抛物线上,设A,5是抛物线上的两个动点,直线E4,总的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kpB=O.则直线2A5的斜率35二二.利用此二级结论：p=2,kAB=一=1n%=2,再回代入九%C:j2=4x得至!|Xo=1【反思】特别提醒，本题抛物线方程巧合是二级结论中的X型抛物线，若是型抛物线f=2(。)，则结论2. (2023安徽三模(理)设抛物线C

4、：尤2=2qSo)的焦点为尸，点M(%,1)在。上，且IM/I=3,若过C上一个定点尸(办小(机0)引它的两条弦PS,PT,直线尸S,尸T的斜率存在且倾斜角互为补角，则直线ST的斜率是()【答案】A【详解】因为点M(XO,1)在。上,且IMFI=3,所以1+勺3,p=4,抛物线方程为=8y设S(%,yJ,(x2,2),则有疗=8，=8y1,年=8%.x1+mx2+m88.pfj1yi-ny2n-x-m2-%2-2于是Z+左pt=一+_818,828X-mx-m1x1-mx2-m所以+”-24因此直线ST的斜率左二二一二寸故选：A.另解：由题意知：Y=2Py(P0)定点？(%,%)(%为O)在抛

5、物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kpB=U.则直线AB的斜率%.=-迎，代入答案选A.P【反思】注意使用前先判断二级结论是否适用，先判定，后使用.223. (2023广西玉林高二期末(理)已知椭圆。：1+=1(/70)的左，右焦点为与工，ab椭圆的离心率为点，百,岑1在椭圆C上.求椭圆C的方程；点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且T工与X轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点”,N,探究直线MN的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由.【答案】土+匕=1;(2)直线脑V的斜率为定值，且定值为1.4

6、32Q_、)33,有+市=1解得C=1(1)由题息,=5贝Ua=2。，又b=a2-C2=V4c2c2=3c,22(R所以椭圆。的方程为土+g=1,代入卜6,号所以。=入=2,故椭圆的标准方程为由题设易知：rf,13法一：设直线TM为5=左(X1),$+匚1由43,消去乃整理得(3+4左2)/+8左左、+4/12左一3=0,V=Z(I)J1_i因为方程有一个根为X=I,所以”的横坐标为;=+黄1纵坐标=k(%M-1)+-=12左212左+98左2+6故为4左212左-312左212左+9、3+42，Sk2+6,E八、.,口“14左2+12左一312左2+12左+9用一/代替鼠得NMF8入6所以3

7、N=止曳=；,故直线MN的斜率为定值;.-22法二：由已知直线MN的斜率存在，可设直线MN为y=辰+根，M(,),N(%,%),11由T43y-kx+m,消去整理得(3+4左2)f+8.+4z-12=。,33mi、18kmAm1-12E-%一入所以=而左加+左3二”+=。Xyi=kx1+m,y2=kx2+mf代入整理得2句%+m-(x1+x2)-(x1+X2)-2m-%11X2y所以(442-8+3)+2m(2k-1)=0,即(2左一1)(2左-3+2m)=0,若2左-3+2相=0,则直线MN过点，不合题意,所以2左1=0.即左=；,故直线肱V的斜率为定值22【反思】在本题第(2)问中，在椭圆

8、中：已知椭圆二+4=1(1b0),定点P(XO,%)ab(y0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kpA,kpB,h且满足原a+心5=0.则直线A3的斜率配=,由于本题是解答题，故不可直接使用Q%此二级结论，但可用该二级结论试探答案，再解答，如果本题是选择题，或者填空题，本_2x0_31_1题可直接使用此二级结论：a=西=XJ=J.X24. (2023全国高二专题练习)已知双曲线1=Im0*0)过点A(-3,2),且离心率e=ab(1)求该双曲线的标准方程；(2)如果6,。为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，证明直线3C的斜率为定值，并求出该定值

9、.【答案】(1)-=1；(2)证明见解析，6.832【详解】94_-I22双曲线的方程为土-匕=1；832(2)设)(再,%),C(X2，%)，设A5的方程为y-2=MX+3),代入双曲线方程，可得(4-k2)x2-2k(3k+2)x-(3k+2)2-32=0,3V+4+122左2+24左+83左2+4左+122左2+24左+8o力0)中，定点P(X(PyO)(%0)在双曲线上,设A,5是双曲线上的两个动点,直线E4,必的斜率分别为怎a，X心5,且满足女尸a+左必=0则直线A5的斜率如二-下旦，由于本题是解答题，故不可直接使用此二级结论，但可用该二级结论试探答案，再解答，如果本题是选择题，或者

10、填空题，本题可直接使用此二级结论：如=-1=-32j(13)=6.三、针对训练举一反三一、填空题1. (2023广东云浮高二期末)已知抛物线C：=4,点。在1轴上，直线/：(a-2)x-2a+4=0与抛物线。交于，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点。的坐标是.二、解答题222. (2023山西晋中高二期末)已知点P(2,-1)是椭圆C：+七=1(70)上的一点，且椭圆。的离心率e=2求椭圆。的标准方程；(2)两动点AB在椭圆。上，总满足直线与依的斜率互为相反数，求证：直线AB的斜率为定值.且离心率e为3. (2023全国高三专题练习)已知椭圆U.+=1(qZ,0)过点a1,02

11、求椭圆。的方程；(2)石、方是椭圆上的两个动点，如果直线A石的斜率与A分的斜率互为相反数，证明直线石厂的斜率为定值，并求出这个定值.4. (2023浙江高三专题练习)已知动点M到直线x+2=0的距离比到点方(1O)的距离大1.(1)求动点/所在的曲线。的方程；(2)已知点尸(1,2),A5是曲线。上的两个动点，如果直线的斜率与直线网的斜率互为相反数，证明直线A5的斜率为定值，并求出这个定值；5. (2019浙江高三阶段练习)如图，已知是抛物线Cy2=2p(p0)上一点,直线40,则的斜率互为相反数，与抛物线。分别交于A,6两点，且均在加点的下方.(1)证明：直线AB的斜率为定值；y.6.7.

12、（2023全国高三专题练习）已知A（12）为抛物线y2=2p（p0）上的一点，,F为抛物线上异于点A的两点，且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.（1）求直线石下的斜率；8. （2019云南保山一模（理）已知点Q（0,。），点P是圆C：（x+y+y2=12上的任意一点，线段PQ的垂直平分线与直线CP交于点M.求点M的轨迹方程；（2）过点人卜若,0）作直线与点M的轨迹交于点E,过点B（U）作直线与点M的轨迹交于点F（E,F不重合），且直线AE和直线BF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF的斜率；若不是定值，请说明理由.9. （2019四川泸州二模（文）已知，椭

13、圆。过点Am两个焦点为（0,2）,（0,-2）,E,F是椭圆C上的两个动点，直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.求椭圆。的方程；(2)求证：直线石厂的斜率为定值.10. (2019黑龙江哈尔滨三中高二期末(理)如图，抛物线关于X轴对称，顶点在坐标原点，点P(14),A(1,j1),B(x2,y2)均在抛物线上.求抛物线的标准方程；当直线PA与PB的斜率存在且互为相反数时，求M+%的值及直线AB的斜率.2211. (2018江苏镇江高二期中)已知椭圆E：0+2T=I(QZ70)的焦距为2百，一条准ab线方程为x=t8,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P,Q在的椭圆上，且点P在第3一象限.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若点P,Q关于坐标原点对称，且PQ1AB,求四边形ABCD的面积；(3)若AP,BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值.