专题21 勾股定理（原卷版）.docx

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1、专题21勾股定理【考查题型】【知识要点】知识点一勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为Q,b,斜边为C,那么/+加=02。变式：a2=c2-b2,b2=c2-a2,c=a2+b2,a=yc2-b2,b=.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。用拼图的方法验证勾股定理的思路是：1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法：方法一(图一)：45八+S正方形所GH=S正方形Abcd，4a

2、+(-)2=c2,化简可证方法二(图二)：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4x!+c2=2+，2大正方形面积为S=(Q+Z?)2=a+2ab+b1,所以4+b2=C2方法三(图三)：S梯形=g(1+b)(1+b),S梯形=2SAAD+SAAbe=2gZ7+g/,化简得证片+廿=，图三知识点二勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即片+2=，中，Q,b,C为正整数时，称Q,b,C为一组勾股数常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等扩展：用含字母的代数式表示组勾股数

3、：1） n-1,2,2+1（几2,为正整数）；2） 2n+1,2+2n,2n2+2n+1（为正整数）3） YYin,2mn,m+n（mn,m,为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。知识点三勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长。，b,。满足片+尸=，那么这个三角形是直角三角形，其中C为斜边【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和/+与较长边的平方片作比较，若它们相等时，以1,b,C为三边的三角形是直角三角形；若2+2/,时，以*b,C为三边的三角形是

4、锐角三角形；2）定理中Q,b,C及。2+尸=，只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长Q,b,C满足4+c2=z72,那么以-儿。为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边3）勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点四直角三角形的性质与判定性质：1）直角三角形的两个锐角互余。2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3）直角三角形中30。角所对的边是斜边的一半。判定：1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,

5、b,c有关系片+/=,那么这个三角形是直角三角形。考查题型一由勾股定理解三角形典例1（2023浙江金华.中考真题）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3,1）,（4,-2）,下列各地点中，离原点最近的是（）A.超市B.医院C.体育场D.学校变式11（2023陕西.中考真题）如图，AO是ABC的高，若BD=2CD=6,tanZC=2,则边AB的长为A.32()B.35C.37D.62变式12（2023.湖南邵阳中考真题）如图，。是等边AABC的外接圆，若AB=3,则。的半径是（）2C.3dI变式13（2023.甘肃兰州.中考真题）如图，菱形ABCD的对角线A

6、C与5。相交于点。E为A。的中点,连接ZABC=60。，BD=43,则OE=（）EA.B. 4B,23C.2D.3变式14.（2023.广西桂林.中考真题）如图，在，ABC中，NB=22.5。，ZC=45o,若AC=2,贝IJABC的面积是（）C.D. 1+2C.22D.2+2变式15（2023.四川资阳中考真题）如图，正方形ABCD的对角线交于点。点E是直线BC上一动点.若AB=4,则AE+O后的最小值是（）A.42B.25+2C.2耳D.2W变式16（2023.湖北黄石.中考真题）如图，正方形。4BC的边长为行，将正方形Q4BC绕原点。顺时针旋转45。，则点B的对应点用的坐标为（）ykbC

7、A.（-2,0）B.（-2,0）C.（0,2）D.（0,2）变式17.（2023.山东青岛.中考真题）如图，。为正方形ABeD对角线AC的中点，CE为等边三角形.若AB=2,则。E的长度为（）A.3B.6C.22D.232变式18.（2023四川宜宾.中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5,BC=3,将CD沿BO折叠到二BED位置，DE交AB于点F,贝IJCOSNAD尸的值为（）变式19（2023.四川成都.中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程6x+4=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是.变式11O.（2023.黑龙江牡丹江.中考真题）在RtAABC中，Z

8、C=90o,AD平分NCAB,AC=6,BC=8,CD=.变式111（2023甘肃武威中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC与5。相交于点。，若A5=25cm,AC=4cm,则BD的长为cm.考查题型二利用勾股定理解决折叠问题典例2（2023.四川达州.中考真题）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将VAD后沿。石翻折，点A恰好落在5。边上的点尸处，若CD=3BF,BE=4,则的长为（）C.15D.18变式21（2023山东济宁.中考真题）如图，三角形纸片ABC中，NBAC=90。，AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若折

9、痕与AC的交点为,则AE的长是（）变式22（2023.山东枣庄.中考真题）如图，三角形纸片ABC,AB=AC,NBAC=90。，点E为AB中点,3沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F,已知EF=,则BC的长是（）A.当B.32C.3D.33变式23（2023.四川巴中.中考真题）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（-10,8）,点。在AC上，将BCD沿5。翻折，点。恰好落在OA边上点E处，贝UtanNOB石等于（）b1aI变式24.（2023甘肃兰州.中考真题）如图，在矩形纸片ABs中，点石在BC边上，将.CD石沿OE翻折cm.得到VFDE,点尸落在AE上.

10、若CE=3cm,AF=2EF,则AB=别在AB,变式2-5.（2023.辽宁鞍山.中考真题）如图，在RtABC中，NACB=90。，AC=6,BC=8,点。，E分BC,将ABDE沿直线。石翻折，点6的对应点&恰好落在AB上，连接Ca,若CB=BB,变式26.（2023浙江丽水.中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点。重合，点A落在点P若CD=4cm,EF=5cm,求BC的长.考查题型三以弦图为背景的计算题典例3.（2023.贵州贵阳.中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形

11、的周长是（）变式31(2023四川内江.中考真题)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图(如图(1).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABC正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为Si、S2、53.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3：图图变式32(2023.四川宜宾.中考真题)我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为.变式33(2023.青海西宁.中考真题)八年级课外兴趣小组活动时，

12、老师提出了如下问题：将2a-3次?-4+6Z?因式分解.【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2)解法二：=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b)【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)【类比】请用分组分解法将/一4+X+Q

13、因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将Or+q2-2q7-x+72因式分解;【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是。和考查题型四勾股定理解决实际应用问题a42/+2/2+/因式分解，再求值.典例4.（2023.江苏南通中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45。方向上的B处，此时B处与灯塔尸的距离为.海里（结果保留根号）.变式41（2023江苏宿迁.中考真

14、题）九章算术中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分5C为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的。处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是变式42（2023.江苏扬州.中考真题）九章算术是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答:折断处离地面尺高.九羊算久中的“折竹”MIi:“今才什高一木折括J&去根三尺,网折才高几和？整*是：有一根竹子原高一丈（一-10）,中部有一处折断，竹梢般地面处舄什根3尺.认同折断处,地面多高？变式43.（2023四川.中考真题）如图，海中有一小岛A,它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行.在B点测得小岛A在北偏东60。方向上，航行12海里到达。点，这时测得小岛A在北偏东30。方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行海里就开始有触礁的危险.变