因式分解-余式定理.docx

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1、因式分解1一余式定理整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x),余式为广，那么/(x)=(x-)g(x)+r。因式定理如果多项式/()=0,那么多项式/(x)必定含有因式(xa)。反过来，如果/(%)含有因式(x-),那么,/3)=0，余式定理当一个多项式f(x)除以(x-a)时，所得的余数等于f(a).R例题当/(x)=X2+X+2除以(工一1)时，余数/(1)=12+1+2=4推论2当一个多项式/(x)除以(如-n)时,所得的余数等于/()。mE例题求当/(x)=9/+6x7除以(3x+1)时所得的余数。解：/(-1)=9(-)2+6(-1)-7=-8R例题设7(x)以(X-I)除之，

2、余式为8,以(f+%+1)除之的余式为(7x+16),求(1/-)除之的余式为多少？(全国港澳台华侨联合招生考试题)解：根据题意，得了(1)=8(1)/a)=(V+x+1)g(x)+7为+16(2)又.X3-1=(x-1)(x2x+1)设f(x)=(x3-1)f(x)+ax2+x+1)+7x+16*/(1)=(x2+x+1)+7x+16=8(3)解得ci5所以余式为-5d+2x+11综合除法与余数定理求多项式3f+5x-7除以x+2,所得的商和余式。3%1一般的竖式除法x+2)32+5x-7-23+5-7综合除法是用简便的方式表达：I_62K余数定理X多项式/A)除以x-o所得的余数等-5商式

3、为3x-1,余式为一5。K因式定理*如果多项式工”能被x-,亦即)有一个因式x-,那么/“)=0。反之，如果/。)=0,那么工一。必为f(x)的一个因式。例2.多项式工.)除以x1,x-2,所得的余数分别为3和5。求工”除以(X-I)(X2)所得的余式。解：依题意，由余数定理可知：=3,工2)=5设x)除以(X-I)(X2)后所得的商式为名x),余式为4v+6,那么f(x)=(x-1)(x-2)qx+cx+h)fn=a+b=3a=2所以有：(C,U解得，所以余式为2x+1f(2)=2ti+h=5。=1K训练与提高2一、填空1 .)=3f-7x+1除以。-2)所得的余数为。2 .(5+3V+2x

4、-4)除以，+1)所得的商式是；余式是。3 .f+3+52+b能被(2+D整除，那么。、b的值为。4 .多项式工X)除以X+2所得的余式数1,除以x+3所得的余式数是-1,那么)除以(x+2)(x+3)所得的余式数是。5 .有综合除法计算(2324-X11)(X+1)o6 .有综合除法计算(2xx2X11)(2x1)o7 .因式分解3-b)3+S-C)3+(C-4)3=。8 .假设V-5qx+4r能被(x-c)2整除，那么4、满足关系。二、解答题9 .多项式F+a+zv+c中，a、b、C为常数，当X=I时，多项式的值为1：当x=2时，多项式的值为2。设当X得值为8和一5时，多项式的值分别为M与N。求-N的值。10 .是否存在整数4,使得f+能整除，。+9+50?简要说明理由。11 .关于X的整式能被x+3整除，它除以x+2、/-3所得的余数分别为T、6,求满足上述条件的次数最低的整式。12 ./；X)=X3+2+3x+2除以整系数多项式g(M所得的商式及余式均为4X),试求&幻和&O,其中g(x)，%均为非常数的多项式。