因式分解的常用方法(方法最全最详细).docx

《因式分解的常用方法(方法最全最详细).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解的常用方法(方法最全最详细).docx（40页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介以因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是:(1)通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法；。注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法ma+mb+nc=n(a+b+c)二、运用公式法.在

2、整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b) (a-b) = a2-b2a2-b2= (a+b) (a-b)；(2) (ab)2 = a22ab+b2a22ab+b2= (ab)2；(3) (a+b) (a2-ab+b2) =a3+b3a3+b3= (a+b) (a2-ab+b2)；(4) (a-b) (a2+ab+b2) = a3-b3a3-b3= (a-b) (a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca= (a+b+c)2；(6) a3+b3c3-3abc= (a+b+c) (

3、a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知, h c 是 AABC 的三边，B,a2 +Z?2 +c2 =ab+bc-ca,则ABC的形状是()A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：a2 +b1 +c2 = ab + bc+ca = 2a2 +2b +2c2 = 2ab + 2bc + 2can (q b)2 + S c)2 +(c- a)2 = 0= a = b = c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am+cm + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有阴

4、后两项都含有b9因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：J!M1= (am + an) + (hm + hn)=a(m + n) + bm + n)每组之间还有公因式！= (x + )(q + b)例 2、分解因式：2ax-1 Oay 5by - bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式二(2av-l Otzy) + (5hy - bx)=2ax -5y)- h(x - 5y)= (x-5y)(2a-b)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式二(2四-bx) + (-10ay + 5by)=x(2a -b)- 5y(2a -

5、b)= (2tz-)(x-5y)练习：分解因式 1、a综合练习：(1) x3 %-y xy y3 -ab + ac-bc 2、xy-x-y-(二)分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x2 -y2 -ax-ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式二(一 /)+ 3+纱)= (x+y)(x-y) + tz(x+)= (x+y)(x- + tz)例4、分解因式：a2-2ab + h2-c2解：原式=(。2一2 + )-。2= (a-h)2 -c2= (a-b- c)( - + c)练习：分解因式3、x2-x-9y2-3

6、y4、x2 - y2 - z2 -2yz(2)ax2 - hx2 + bx ax + a b(4)。2-6必 + 12/7 + 9必-4。(6) 4a2x-4a2y-b2x-b2y(7) x rxy xz + yz + )厂(8) c 2ab 2b 2ab 1(9) y(y -2)- (m - l)(m +1)(10) (a + c)(a - c) + bb - 2d)(11) q S + c) + b (c + c) + c(4 + /?) + 2abc (12) c + 投 + 3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式X2 +(p + )x+ p = (x9)(

7、x + )进行分解。特点：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0V0而且是一个完全平方数。于是A = 9-84为完全平方数，a = l例5、分解因式：2 +5x + 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=23=(-2)(-3)=1 6=(-1)(-6),从中可以发现只有 2X3的分解适合，即2+3=5o1 2解：x + 5x 6 = %2 (2 3)% 2 313= (x + 2)(x + 3)12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和

8、要等于一次项的系数。例6、分解因式：2-7 + 6解：原式=2 +(-l) + (-6)x +(-1)(-6)1-1=(x 1)( 6)16(-1) + (-6) =-7练习 5、分解因式(l)x +14x + 24 -15a+ 36 x? 4x 5练习 6、分解因式 x+x 2 y-2y 15(3) x* I Ox 24(二)二次项系数不为1的二次三项式一一4 +bx + c条件：(1) a = ala2 c(2) c = c1c2c2(3) b = aic2 +6i2c1b = alc2 +dr2c,例7、分解因式:分析：分解结果：ax + /?x c = (tz1 x + c1 )(a2

9、x + c2)3x2-11x + 10(-6) + (-5) =-11(2) 3x2-7x2(4) -6y +lly + 10(3) 10-17x + 3解：3-llx + 10 = (-2)(3-5)练习7、分解因式：(1) 5x2+7x-6(三)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2-Sab-128b2分析：将看成常数，把原多项式看成关于。的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。lxr8b1 16b8b+(-16b)= -8b解：a2-8ab- 22=a2 + 8/7 + (-6h)a + 8Z;(-16)= (a + 8h)(a-16b)练习8、分解因式3孙+2y2(2)m2 6m

10、n + 8/(3) a2 -ab-6b2(四)二次项系数不为1的齐次多项式例 9、2x2 -7, + 6j21力(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x-2y)(2x-3y)例 10、x2y2 -3), + 2把“看作一个整体1-1(-1)+(-2)= -3解：原式二(孙-1)(呼-2)(2) a2x2 6tX + 8练习9、分解因式：(1) 5x2 +lxy-4y2综合练习 10、(1) 8x6 -73 -1(2) 2x2 -xy-5y2(3) (X + y)2 - 3(% + ,) -10(4) (tz + /?)2 -4a-4b+ 3(5) x2y2 -5x2y -6x2(6) m

11、 - 4mn + 4/?2 -3m + 6 + 2(7) 2+4xy + 4y2-2x-4j-3 (8) 5( + )2 +23(2 -b2)-0(a-b)2(9) 4x2-4-6% + 3y + y2-10 (10) 12(x y)2 1 l(x2 - y2)2(x-y)2思考：分解因式：6fCX2 +(tz22 +C2)x + 6fC五、换元法。(1)、换单项式例1分解因式x6+ 14x3y + 49y2.分析：注意到6=(3)2,若把单项式3换元，设3=m,则6=n2,原式变形为m2+ 14my 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.(2)、换多项式例 2分解因式(

12、2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设 2+6=m,则 C+4x+6= m+4x, x2+6x+6= m+6x,原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx24x2+x2= m2 +10mx+25x2=(m+5x)2= ( x2 6+5x)2=(x+2)(x+3)2= (x+2)2(x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了 “整体换无法”.比如，设x?+4x+6=m,则x?+6x+6=m+2x,原式变形为m(m

13、+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (mx)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x25x+6)2=(x+2)(x+3)2= (x+2)2(x3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m= J(x2+4x+6) (x2+6x+6)J= x2+5x+6, 则 2+4x+6=m-x, x2+6x+6=mx,(m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= l(x+2)(x3)2= (x2)2(x+3)2.例 3分解因式(xl)(x+2)(x3)(x+4)+24.分析：这

14、道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘,使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2,常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把(xl)(x+2)(x3)(x+4)分组(x-l) (x+2)(x-3)(x+4) = (x2+x-2) (x2+x-12),从而转化成例 2 形式加以解决.我们采用“均值换元法，设 m= J (2+2)+(2+12)=2+.7,则x2+x-2=m+5, x2+x-2= m-5,原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1 =(m+1 )(m-1 )=( x2+x-7+l)( x2+x-7-l)=(x2+x-6)( x2x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).(3)、换常数例 1分解因式 x2(x+1)-2003X 2004x