抽样分布课件.pptx

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1、抽样分布课件一、一、分布分布首先回顾以前学过得首先回顾以前学过得5类分布族类分布族:(,):01,B n pp二二项项分分布布族族 ():0,P泊泊松松分分布布族族 (,):-,U a bab 均均匀匀分分布布族族22 (,):-,0,N 正正态态分分布布族族 e():0,指指数数分分布布族族 本节将介绍其她几类分布族本节将介绍其她几类分布族,她们将在数理统计她们将在数理统计中起着重要得作用中起着重要得作用、21、函数函数 10()e dxxx 函数得性质函数得性质:(1)(),（利利用用分分部部积积分分可可以以证证明明）(1)!,nn(1)(0)1,1(),2 2、分布分布(补充内容补充内容

2、)定义定义 X设设随随机机变变量量 的的分分布布密密度度函函数数为为e 10,(;,)()0,0,xxxf xx ，(,),0,0(,):0,0.XX 则则称称 服服从从 分分布布，记记为为其其中中为为参参数数，分分布布族族常常记记为为3、分布得性质分布得性质 性质性质1 1()(1)(2)()()kkkkkkE X 注注:指数分布为特殊得指数分布为特殊得1()(,)E 分分布布，即即其中其中222(),()()()E XD XE XEX 证证1100()ee()()kkxkxE Xxxxxxdddd101()e()()ktkkkxtt 换换元元dtdt性质性质2(2(可加性可加性)(,),1

3、,2,jjjXjnX 若若而而且且间间相相互互独独立立，则则11(,),nnjjjjX4、分布分布 2定义定义1 1、8 812,nXXX设设随随机机变变量量相相互互独独立立且且同同服服从从0 1(,),N标标准准正正态态分分布布则则称称随随机机变变量量222212nnXXX222().nnn自自由由度度为为 的的分分布布，记记为为这这里里的的自自由由度度是是指指.和和式式中中独独立立变变量量的的个个数数定理定理1、61221 ,(0,1)nnniiXXXNYX设设随随机机变变量量独独立立，同同服服从从分分布布，则则随随机机变变量量的的概概率率分分布布密密度度为为12221e0()2()20n

4、xnxxnf x其其它它211,(,)()222 2nnn当当 则则，其其密密度度函函数数为为注注12221e0()2()20nxnxxnf x其其它它证证2iiXX以以为为例例，计计算算的的密密度度函函数数，221221()edt2ixtiiXxFxP xxPxxx2121111122221()11 12()ee(,),12 22()2ixxXfxxx 2由由 分分布布性性质质 可可知知，21nniiYX21,().2 2nn.)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n 分布的性质分布的性质2 性质性质1 122222n(),(),().nnnEnDn若若则则证明证明),1,0(N

5、Xi因为因为,1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD ,123 .,2,1ni niiXEE122)(故故 niiXE12)(,n niiXDD122)(niiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 性质性质2 2).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量得情形此性质可以推广到多个随机变量得情形).(,),2,1(),(21212222mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设性质性质3 32(),Xnx 设

6、设则则对对任任意意实实数数有有221limed22txnXnPxtn(,2).pproximate normalnXAN nnA即即当当 充充分分大大时时，122111221 (),.,(1,2,),)()(1,2,).nniikiiiiTniikiiiXXXnNQXQQQQ iknXXXQQniknn 柯柯赫赫伦伦定定理理 设设是是 个个独独立立、同同服服从从标标准准正正态态分分布布(0,1)(0,1)的的随随机机变变量量，记记若若 分分解解为为其其中中是是秩秩为为 的的关关于于（的的非非负负二二次次型型，则则相相互互独独立立，且且的的充充要要条条件件为为定理定理1、7 分布分布(补充内容补

7、充内容,不讲不讲)X若若随随机机变变量量 的的密密度度函函数数为为111010()(),()()(;,),ababxxxabf x a b 其其他他1、分布得密度函数分布得密度函数 定义定义(,),0,0(,):0,0.XXaba bab则则称称 服服从从 分分布布，记记为为其其中中为为参参数数，分分布布族族常常记记为为 2、分布得图象特征分布得图象特征 11 11,12.aabxab、图图象象呈呈单单峰峰状状，在在=处处达达到到最最大大值值21 21,1211.,22aabxabab、图图象象呈呈U U型型状状，在在=处处达达到到最最小小值值时时，分分布布称称为为反反正正弦弦分分布布。O11

8、,1ab1x1,1ab2x 31,1(0,1)(0,1),(1,1)(0,1).abUU 、时时，分分布布就就是是上上的的均均匀匀分分布布，记记为为即即 41,1(,)1,1(,)abf x a babf x a b、时时，严严格格单单减减函函数数；时时，严严格格单单增增函函数数。O11,1ab1,1abO11,1ab1,1ab1,1ab3、分布得性质分布得性质 性质性质1 1()()()()()(1)(1)()(1)(1)kakabE Xaabka aakab ababk2,()(1)aabEXDXababab其其中中性质性质2 2(,1),(,1)(,)XXaYba bXY 设设且且独独立

9、立，则则性质性质3 3221212(),()(,)22nnXXnYnXY 设设且且独独立立，则则二、二、t t分布族分布族1、t分布分布 定义定义1、9 20 1(,),(),XNYnXY设设且且 与与 相相互互独独立立，则则称称随随机机变变量量XTY n()ntTt nT服服从从自自由由度度为为 的的 分分布布，记记为为，随随机机变变量量 亦亦T称称为为 变变量量t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布、学生氏学生氏定理定理1、8 T变变量量的的分分布布密密度度函函数数为为 12212()1,2nnxf xxnnn证证此问题可以利用商得概率密度计算公式计算此问题可以利用商得

10、概率密度计算公式计算、YZn首首先先计计算算的的分分布布函函数数22()()ZYYFzPzP YnzFnzn2、t分布分布得密度函数得密度函数因此因此22212212()()()2(;)1e0.2()2ZYYnnznnfzFnzFnznzf x nn zzn再由商得概率密度计算公式可得再由商得概率密度计算公式可得(,)|()()dTZXfx nz fz fzxz222z-122201211eed22()2nnzxnnzn zzn222()2102ed2()2nzn xnnnzzn1212212021e d()2()(1)2nunzuuunxnxnn（令令1221()2(1)()2nnxnnn因

11、而定理因而定理1、8成立。成立。3、t分布得图象特征分布得图象特征 图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t.0对称的对称的显然图形是关于显然图形是关于 t当当n充分大时充分大时,其图其图形类似于标准正态形类似于标准正态变量概率密度得图变量概率密度得图形形、221lim(,)e,2xnf x n因因为为,)1,0(分布分布分布近似于分布近似于足够大时足够大时所以当所以当Ntn.)1,0(,分布相差很大分布相差很大分布与分布与但对于较小的但对于较小的Ntn利用利用Stirling公式公式1!2,012nnnnnnn een 可以证明可以证明112lim22nnnn利用重要极限可以证明利用重

12、要极限可以证明2122-2lim 1enxnxn因而因而221lim(,)e,2xnf x n4、t分布得性质分布得性质 性质性质1 10,2.2nEXDXnn性质性质2 21t 自自由由度度为为 的的 分分布布称称为为柯柯西西分分布布，其其密密度度函函数数为为21(),(1)f xxx 此分布得数学期望不存在此分布得数学期望不存在、三、三、F F分布分布定义定义1、101、F分布分布 2212112212 (),(),/,(,)/,(,).XnYnX nFnnY nFFF nn设设且且相相互互独独立立 则则随随机机变变量量服服从从自自由由度度为为的的分分布布 记记为为12nn其其中中 为为第

13、第一一自自由由度度，为为第第二二自自由由度度2、F分布得密度函数分布得密度函数 F随随机机变变量量 的的分分布布密密度度函函数数为为定理定理1、9121121122211122221,0()220,nnnFnnnnnn xxxfxnnnn其其它它证明证明12,XYUVUVnn令令且且与与相相互互独独立立，其其分分布布密密度度函函数数分分别别为为1111211221202200e ()()nnnunUnuunfxu 2222212222202200e ()()nnnvnVnvvnfxv 利用两个独立随机变量商得概率密度函数计算公式可得利用两个独立随机变量商得概率密度函数计算公式可得()|()()

14、dFUVfxvfxv fvv 1211221222111222220122222()()eed()()nnnnnnxvvnnn nv xvvvnn 1211212122211122220122222ed()()nnnnnn x nvnnn nxvvnn 1211212121222211220121222222ed()()nnnnnnnwnnn nxwwn xnnn 121222 ,ddn xnwwvvwn xn （换换元元）12112121222212121212222222()()()nnnnnnnn nxnnn xnnn 1121211-222111222()2 1 0,()()220 n

15、nnnnnnnnxxxnnnn其其它它12(,),1.9F n n这这就就是是的的概概率率密密度度函函数数 由由此此证证明明定定理理图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F根据定义可知根据定义可知,).,(1),(1221nnFFnnFF则则若若3、F分布得几何特征分布得几何特征 4、F分布得性质分布得性质 性质性质1 1222221222122,(2),22(2)(,4.(2)(4)nE FnnnnnD Fnn nn（）性质性质2 212211(,),(,).FF nnF nnF若若则则性质性质3 32(),(1,).Tt nTFn若若则则定理定理1、102120,(,)nXXXN设设

16、相相互互独独立立，且且同同服服从从121 2(,),)TinQ ikXXX 分分布布，是是关关于于(的的秩秩(即即自自in由由度度）为为 的的非非负负二二次次型型，且且2121nkiiQQQX 12knnnn则则(,)iiijijjjQ nFF n nQn 意义意义:在方差分析中有重要作用在方差分析中有重要作用例例1 12122211,(,)11()1/nnniiiiXXXNXXSXXnnXSn 设设均均服服从从，且且相相互互独独立立，设设，试试求求的的分分布布.解解),1,0(/NnX ),1()1(222 nSn 且两者独立且两者独立,由由 定义定义1、9可知可知22(1)(1)/XXnSnnSn ).1(nt重点重点:利用三种分布定义做题利用三种分布定义做题则则统统计计量量来来自自总总体体设设),0(,24321NXXXX?的分布为的分布为242321XXXXT)1,0(2),2,0(221221NXXNXX 于是于是于于是是独独立立同同分分布布于于与与),1,0(2423NXX 解解)2(2224223 XX 例例2122223421.92(2)2XXtXX 由由定定义义可可知