第三章随机数的产生与检验-PPT.pptx

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1、第三章随机数的产生与检验定理定理定理1.11.1：设 是连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为 ，即 )(xF)(1xFxxFF)(12、若随机变量 ，则 的分布函数为 )1,0(UR)(xF)(1RF1、若随机变量 的分布函数为 ，则 )(xF)1,0()(UF2证明证明:设随机变量 的分布函数为 ，当 时，)(F)(1uF 1,0u当 时，；当 时，0u0)(1uF1u1)(1uF所以)1,0()(UF设 的分布函数为 ，则)(1RF)(2xF)()()()()(12xFxFFxFRPxRFPxFR因为 ，对任意 有 。所以 的分布函数为 )1,0(UR)()(xFxFFR

2、1,0)(xF)(1RF)(xFuuFFuFPuFPuF)()()()(1113定理1.1说明了任意分布的随机数均可由均匀分布 的随机数变换得到。常简称 的随机数为均匀分布随机数。)1,0(U)1,0(U4手工方法手工方法:抽签、掷骰子、摇号等;随机数表法随机数表法:占用内存大,目前已很少使用;物理方法物理方法:放射性衰变、电子设备得热噪音、宇宙射线得触发时间等等;不能重复计算;数学方法数学方法:使用最广。(二二)产生随机数得一般方法产生随机数得一般方法:5(三)伪随机数伪随机数伪随机数:在计算机上用数学方法数学方法产生均匀随机数均匀随机数就是指按照一定得计算方法而产生得数列,它们具有类似于均

3、匀随机变量均匀随机变量得独立抽样序列得性质,这些数既然就是依照确定算法产生得,便不可能就是真正得随机数,因此常把用数学方法产生得随机数称常把用数学方法产生得随机数称为伪随机数。为伪随机数。伪随机数伪随机数不可能真随机;需要对产生得伪随机数进行各种检验保证其符合独立性条件且分布为要求得分布;67均匀随机数得产生均匀随机数得产生:主要有线性同余法主要有线性同余法(LCG),),组合同余法组合同余法,反反馈位移寄存器方法等馈位移寄存器方法等 第二节第二节 均匀随机数得产生均匀随机数得产生8同余同余性质性质:对称性对称性:ab(mod M)ab(mod M),则则ba(mod M)ba(mod M)、

4、传递性传递性:若若ab(mod M)ab(mod M),bc(mod M)bc(mod M),则则ac(mod M)ac(mod M)、(一)同余与线性同余法9性质性质4 4:例如:已知1260(mod 16),M=16,取C=6,a=2,b=10,因为(M,C)=2,则有210(mod 8),其中M/(M,C)=16/2=8。或者,取C=12,M=16,因为(M,C)=4,则有15(mod 4),其中M/(M,C)=16/4=4。10求余运算求余运算得式子求余运算得式子A(mod M)A(mod M)定义为定义为:Mwhen AMMAAMwhen AAMMAAMA)(mod其中 表示求 的整

5、数部分。MAMA1101)(mod(值xMxrMcaxxnnnn初,.2,1n线性同余法(Linear Congruence Generator,LCG)得递推公式为:13线性同余法得周期周期:14线性同余法产生的序列 一定会重复，因为周期最多只有M个可能取值。,210 xxx15说明:满周期就是T=M时。16满周期满周期当c0时,下式称为混合同余发生器,当c=0时,称为乘同余发生器,此时当模为素数时,称它为素数模乘同余发生器。1701)(mod(值xMxrMcaxxnnnn初,.2,1n补充补充1 1:混合同余发生器混合同余发生器与素数模乘同余发生器素数模乘同余发生器两个常用得混合同余发生器

6、混合同余发生器:350353511522)2)(mod15(xxrxxnnnn3103131122)2)(mod453806245314159269(xxrxxnnnn,.2,1n18常用得素数模乘同余发生器素数模乘同余发生器:312)312()312(mod312535035351xxrxxnnnn,.2,1n19常用得素数模乘同余发生器素数模乘同余发生器:,.2,1n12)12()12(mod31031311xxrxaxnnnin)4,3,2,1(i168071a3972040942a7642611233a6303600164a20思想思想:先用一个随机数发生器产生得随机数列为基础,再用另

7、一个发生器对随机数列进行重新排列得到得新数列作为实际使用得随机数。这种把多个独立得发生器以某种方式组合在一起作为实际使用得随机数,希望能够比任何一个单独得随机数发生器得到周期长、统计性质更优得随机数,即组合发生器。21补充补充2 2:组合发生器组合发生器:Maclaren 与 Marsaglia在1965年提出得著名得组合发生器就是组合同余发生器,该算法得具体步骤如下:222.用第二个LCG产生一个随机整数 ,要求 ;jkj 13.令 ，然后再用第一个LCG产生一个随机数 ,令 ；置 ;jntx yytj1 nn4.重复23，得随机数列 ，即为组合同余发生器产生的数列。若第一个LCG的模为 ，

8、令 ，则 为均匀随机数。nxMMxrnn nr1.用第一个LCG产生 个随机数，一般取 。这 个随机数被顺序地存放在矢量 中。置 ;k),(21ktttT1nk218k23步骤步骤:检验目得检验目得:检验均匀伪随机数符合独立同均匀分布;两种检验方法统计检验统计检验:对生成得伪随机数进行假设检验理论检验理论检验:从理论上讨论随机数发生器性质统计检验常用近似正态统计量与2统计量以下检验方法一般假设用某发生器生成了均匀分布伪随机数r1,r2,、,rn,来检验这些生成得随机数得各种统计量。24第三节 随机数检验251 1、特征量检验、特征量检验(参数检验参数检验)2627注注:若卡方值过大,则拒绝原假

9、设(即分布不就是均匀得):检验随机数在(0,1)区间内分布时均匀得(一一)卡方检验法卡方检验法:(二)Kolmogorov-Smirnov testK-S检验就是连续分布得拟合性检验。检验样本得经验分布函数与总体得分布函数间得差异就是否显著。2829注注:R软件检验随机数就是否服从某一分布时,可采用这种检验方法。3 3、独立性检验、独立性检验:自相关系数得检验自相关系数得检验 30 随机数r1,r2,rn中得前后项就是否就是统计相关性就是否就是显著得。相关系数反映了数据间得线性相关程度,若独立,则相关系数必为0(反之不一定)。原假设H0:31R require sample(1:100,20)

10、#从1到100中无重复抽取20个数;runif(n,min=0,max=1)#产生n个0-1得均匀分布随机数;rnorm(n,mean=0,sd=1)#产生n个以0为均值,1为方差得正态分布随机数;rexp:The Exponential Distribution(wiki link)(指数分布,独立随机事件发生得时间间隔)rf:The F Distribution(wiki link)(F分布,两个卡方分布除以各自自由度)rbeta:The Beta Distribution(wiki link)rbinom:The Binomial Distribution(wiki link)(二项分布

11、)rcauchy:The Cauchy Distribution(wiki link)(柯西分布,N阶矩都不存在得分布、)rchisq:The(non-central)Chi-Squared Distribution(wiki link)(卡方分布,正态分布平方得分布)32rgamma:The Gamma Distribution(wiki link)(伽玛分布)rpois:The Poisson Distribution(wiki link)(泊松分布,单位时间内随机事件发生得次数)rgeom:The Geometric Distribution(wiki link)(几何分布,在第n次伯努

12、利试验中,试验k次才得到第一次成功得机率)rhyper:The Hypergeometric Distribution(wiki link)(超几何分布)rlnorm:The Log Normal Distribution(wiki link)(对数正态分布,正态分布得指数得分布)rlogis:The Logistic Distribution(wiki link)(逻辑分布)rmultinom:The Multinomial Distribution(wiki link)(多变量正态分布)rnbinom:The Negative Binomial Distribution(wiki link

13、)(负二项分布)33R ks、test分布检验ks、test(data,pnorm,mean(data),sd(data)3435假设检验Matlab-require%M-file函数f得定义:判断概率函数function f=p_judge(A,alpha)%判别所给数据源在置信率为0、05时得概率分布形式。A=A(:);%数据集A得形式为n1。randperm(n)%产生1到n得均匀分布随机序列a=normrnd(0,1,1,6)%正态分布随机数36正态分布mu,sigma=normfit(A);p1=normcdf(A,mu,sigma);H1,s1=kstest(A,A,p1,alpha)n=length(A);if H1=0disp(该数据源服从正态分布。)elsedisp(该数据源不服从正态分布。)end37