(人教A版选择性必修第二、三册)专题1求数列的通项公式-(教师版).docx

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1、求数列的通项公式模块导图知识剖析求数列的通项公式是高考常考的一专题，形式多样，解题方法很多，常见的有累加法、累乘法、待定系数法、迭代法、取倒数法等，课外延申的还有不动点法等，不管什么方法，一定要理解解题方法的本质，清楚每种方法的适用范围，避免出现“看得懂，模仿做还行，独立思考就含糊”的情况.【方法一】观察法适用范围：给出数列的前几项，猜测通项公式；方法：通过观察，得知数列各项之间数值的关系（比如数值之间的差或商成一定规律）或数值结构特点（比如数值的正负，分式，平方)从而求得通项公式.【典题1】写出下列数列%的一个通项公式-7,14,21,28,.；(2)-,，.；oIoOZ(3)2,5,10,

2、17,26,.：(4)32,332,3332,33332,(5) 1,2,2,3,3,4,4,.【解析】分解结构法：注意数值的结构，看其是否可视为两个或多个数列组合而成.(1)数列一7,14,-21,28,每项可分解成符号和项的绝对值相乘得到，序号1234n符号+(-1)“绝对值71421287n项(-1)7n故%=(-1)n7n;(2)数列;，,/每项可分解成分子和分母相除得到,4O16Si序号1234n分子13572n-1分母4816322r+项(2n-1)2n+1故%=(2九-1)2*1；变形法：数列本身特点不明显，但通过加减乘除某个数之类方式变形成“规律感更强”的数列.(3)数列2,5

3、,10,17,26,中若每项减去1,则变成1,4,9,16,25,，这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是小，则原数列只需要在这基础上加回1便可，即时=n2+1.(4)数列2,32,332,3332,33332,中若每项加上1,则变成3,33,333,3333,33333,再每项乘以3,变成9,99,999,9999,99999,其中9=10-1,99=102-1,999=IO3-I,9999=IO4-I,99999=IO5-I,则其通项%=10n+1-1,要求原数列的通项公式，则“逆回去”，除以3再减1可得即=1T=Wzi-1=W分奇偶项(5)数列1,2,2,3,3,4,4,，相邻每项之间

4、没什么关系，若分奇偶性来看，就简单多了，可得奇数项为1,2,3,4,，可得%=等.偶数项为2,3,4可得On=等.(T,为奇数则该数列通项公式时=I,n为偶数【点拨】观察法主要是依靠“数感”，以上讲解的“分解结构法变形法可有助于观察，它对后面讲到的利用数学归纳法求解通项公式有用.巩固练习K*)数列1,一务一苧，卜的一个通项公式为()A.(-)n-1B.(一当11c.(-1)n(y)n-1D.(-1)n+1(y)n1【答案】D【解析】依题意，数列%的符号正负项间隔出现，故符号为(-)n+1,且每项为(苧y,故数列%的一个通项公式为%=(-)n+1()n1,故选：D.2()下列可作为数列1,2,1

5、,2,1,2,.的通项公式的是()aC-+(-0n1rC_3+(-1A.an-B-cn2C.an=2-sin-D.an=2-cos(n-1)【答案】B【解析】根据题意，数列121,2,1,2,.其奇数项为1,可以看作塔山，偶数项为2,可以看作话2；其通项公式可以为：Qn=写故选：B.3(*)写出以下各数列的一个通项公式.(1)1,一；，；，一：，；10,9,8,7,6,；(3)0,3,8,15,24,.；O/4、1S111931CAAAA(4)5，Z，彳，前；(5)4,44,444,4444,.ZOY1ZUOv【答案】%=(-1)“+，备(2)n=11-n(3)an=n2-1(4)%=1一就(

6、5)=Ix(10-1).【方法二】Qn与Sn的关系公式法适用范围：若得知又或时与Sn的关系式，求数列通项公式.方法：利用On与Sn的关系%=f1_c注意分类讨论，最后确定Q1是否满足时=S),2.【典题1已知数列%的前n项和S71,满足关系Ig(Sn+1)=儿求%的通项公式.【解析】v1g(Sn+1)=n,Sn=IOn-I当n2时，=Sn-SnT=910T当n=1时，1=S1=9满足Qn=910n1,(确定是否满足上式).%=9XIonT(nN)(最后等式才由n2变成nAr)【典题2】已知数列%的前n项和为S，a1=1,满足下列条件nAT,%0；点(%,S,)在函数/(%)=与勺图象上；求数列

7、%的通项%1及前项和S小【解析】由题意Sn=竽，当T12时时=Sn-Sn-1=竽一嗓詈匚，整理，得(%+%)(%-%-1)=0,(因式分解)又VnAT,册0,所以%+n,10即时-%=1,又4=1,数列%是首项为1,公比为1的等差数列，%=%Sn=.【典题3已知%中，a1=1,an=(n2),求册.【解析】当荏2时，an=Sn-SnTSn-SnT=SnT-Sn=2SrtSnT两边同除以Sz1SrJ_1，得机-户=2(该变式技巧了解下)(上两题是“消去”Sn得到数列%递推公式，该题“消去”时得到数列SR的递推公式)二数列白为等差数列，公差为2,首项为1二;=12(n1)=2n1解得Sn=,SnZ

8、n-I%=1不满足On=:)，INn-1八/n-Jjr1fn=1【点拨】当题中得知Sn或On与Sn的关系式，则可利用公式%=消去时或Sz1,得到对应Jn-I71的递推公式进而求解时,但最后都要注意确定由是否满足%=/(n)n2.巩固练习K*)已知数列%的前九项和&满足Sn=M+n-1,求数列%的通项公式.【答案】%=Om【解析】当n2时，an=Sn-SnT=2n当n=1时，Q1=S1=I不满足%2n,.a=f1n=1nI2n,n2!()已知无穷数列n的前几项和Sn，并且%+Sn=1,求%的通项公式.【答案】n=()n【解析】即+Sz=1,当n=1时，a1=I%+1=Sn+I-Sn=Qn-%+1

9、，an+1=3册，又Q1=T#，.U是以首项为5公比为抽等比数列，%=(3()已知数列ar的前几项和3，满足c=-4,2Sn=n(n-7).求QI和数列%的通项公式:【答案】an=3n-10(n*)【解析】在2Sn=n(an-7)中,当T1=I时，2S=a1-7n2a1=a17=a1=7.由2S,1=n(an-7)得，2Sn+1=(n+1)(an+1-7),两式相减得,2an+1=(n1)an+nan7,所以(九一1)an+1nan=7,当n2时，有皿一个=7(-1),nn-1n(n-1)n-1n所以11一色=/n+_On_x+0nx+(里n1vnn-1jkn-1n-2,k2,=7(-)+7(

10、与-+7(-)=7(1-)=,n-1nyvn-2n-1,12，n,n所以汕=%+Zi212=_4=也，n1nnn所以an+=3n7(n2),故%=3n10(n3)又=7,a?=4也都符合上式，所以=3n一10(nN)4()设数歹Jan的前九项和为Sn,已知a1=2,c=8,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n2),求数列an的通项公式；【答案】an=22n【解析】由SH1+4H1I=5Sn(n2)可得SH1-Sr1=4(Sn-Sn-1)(n2),%+=4a”(n2),%=2,a2=8,“两足%+14%,所以数列%是首项为2,公比为4的等比数列，故o71=2x*t=22a1.【方法三】累加法适用范围

11、：递推式为an+=%+f(n).方法：得到%+-%=/5)，利用累加的形式求出时.【典题1】已知数列Q满足%=2,册+1=Qn+出(1+),求%.【解析】由条件知：即+1%=，九(1+；)=?=(几+1)比九.n2时，an-.1=Inn-1n(n-1)n.1-an-2=(-1)-/n(n-2)a4-a3=1n4-1n3a3-a2=1n31n2、a2a1=1n2In1把以上n-1个式子累加得41-a1=Inn-In1=Innf.,.an=a1Inn=Inn+2(n2),a1=2也满足On=Inn+2,an=Inn+2(nN*).【典题2已知数列an满足an+=an+23+1,a1=3,求数列an

12、的通项公式.【解析】由%+=%+2X3n+1得an+-an=2X3n+1n2时，%=(即一即-1)+(-%-2)+(的-电)+(a2-)+%(23n,+1)+(23n2+1)+(232+1)+(231+1)+32(3n-1+3n-2+32+31)(n-1)+33(1-3n-1)2:+(n-1)+3133n+-1而Q1=3也满足%=3nn-1,.,.an=3n+n1(nN).巩固练习1()数列%1满足Q1=3,an+1-an=2n-8(nN)则(=【答案】3【解析】数列%中,a1=3,a+1-an2n-8(n/V),anan-=2n-10,n-dn-2=2-12,a3a2=4,a2-Qi=16,

13、an-a1=-6-4-.+(2n-12)+(2n-10)=(n-D-6；(2nio)_(n一劫色_8),an=(n1)(n-8)+3,q=32(*)将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是.147101316192225283134374043【答案】577【解析】设各行的首项组成数列n,则a?-Q1=3,a3-a2=6,，anan-1=3(n1)叠加可得：一%=3+6+3(n1)=吗山，0+3数阵中第20行从左至右的第3个数是571+23=577故答案：577.3()已知数歹K册满足臼=g,即+1=%+*;，求on【答窠】【解析】由条件知：an+1n=-=(二=-g,n+nn(n+1)nn+1111111111,a2-a=1-弓,。3一。2=5一鼻/4-。3=w-7,.,n-%-2=彳一An一斯T=一二ZZ334nZn1n1n把以上九-1个式子累加得到11I3I.n=1+1-=-.