[寒假]圆锥曲线中的定值问题.docx

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1、图侦曲长的定供间敢圆锥曲线中的定点定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点。解这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积等，这些不受变量说影响的一个值就是定值。具体要求就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量得到定值。下面就以今年的几道高考真题为例，揭示一般做题方法。V2v2例1（2013年山东卷理）椭圆c：r+=1的左、右焦点分别是6，鸟，离心ab率为且，过冗且垂直于X轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.2（I）求椭圆C的方程；（H）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接P6，P8，设/尸鸟的角平分线PM交C的长轴于点M（m,

2、0）,求？的取值范围；（III）在（）的条件下，过P点作斜率为k的直线1,使得/与椭圆C有且只有一个公共11点，设直线尸6，尸鸟的斜率分别为人次2,若女工0,试证明应二+1丁为定值，并求出这KKT*（9个定值.分析（I）根据离心率以及通径公式联立即可求解。（II）角平分线通常可以选择直线夹角或者向量夹角两种处理方式，就本题而言，向量夹角的处理方式较为优越。（I1D关键在于读懂只有一个公共点的含义，并求得k的表达式。解析（I）由于。2=。2一从，X2V2b2将X=-C代入椭圆方程r+4=1,得y=。aba由题意知竺=1,即a=Ib1,又e=立所以a=2yb=.aa2r2所以椭圆方程为-r+y2=

3、0（H）由题意可知:PFIPMPF?PMIPK1IPK1PF1PMPFyPMPFPMPF2HPMI设PaO,%）其中X工4,将向量坐标代入并化简得:m（4*一16）=3x1-12x0,333因为片4,所以加二刈而与义工所以机仅一,)(III)由题意可知，1为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为.+为y=1,所以左=一工，4.4%而K=一)。厂，匕=。厂,x+3x-3小、11田/口11“玛+Xn-yJ、CM1/士代入一+不一中得一=-4(-+-一匚)=-8为定值.KKik2kkkk1x0X0点评本题思维强度不大，运算强度也不大。数学里也有一些需要记忆的结论，角平分线如何在解析几何里代

4、数化，椭圆上任意一点的切线斜率，熟知结论将驾轻就熟。X2V2例2(2013年安徽卷理)设椭圆石：=+上二二1的焦点在工轴上a-a-(I)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程；(U)设耳,每分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点,直线KP交y轴与点。，并且6尸_1。，证明：当。变化时,点p在某定直线上.分析(I)利用椭圆的几何性质，列算式即可解决。(H)由于本题中关键的两点P、Q并不是同一直线与圆锥曲线的两个交点，不能较好地体现韦达定理设而不求的优势，故而舍去。鉴于题目中Q点比较好设，选取直接设点的方式，转化题目所给条件。证明点P是否在定直线上的问题就变成了消去等式中变量a的过程。解

5、析(I).因为。21-/,2c=1,a2=1-a2+c2f所以/=3。8所以椭圆方程为+过二=1。53(H)设片(-c,O),乙(Go),P(x,y),Q(O,),则EP=(Xc,y),QE=(c9-m).由I-。？0=(0,1)=xe(0,1),y(0,1).,.,Zyt=(C-X)=VCW(yQ=(c由QEd漪本)+022二+=1/z、222=(X-c)(x+c)=y=X-y=T.联立a-a1x2-=c2解得a2=1-a2+c2O292n227+；r2=1=x2=(y1)2.vx(0,1),y(0,1).x=-yx-/+1-x1+/所以动点P过定直线x+-1=0.点评设点时应注意参数取值范

6、围，解题过程中有清晰的目标即消去变量a,得到一个关于X,y的等式。例3(2013年陕西卷理)己知动圆过定点4(4,0),且在y轴上截得的弦视V的长为8.(I)求动圆圆心的轨迹C的方程；(II)已知点8(T,0),设不垂直于X轴的直线/与轨迹C交于不同的两点KQ,若X轴是NPBQ的角平分线，证明直线/过定点.分析(I)直接设圆心坐标，利用两种方式描述的半径相等构建等式。(II)本题中角平分线的特殊性，可以考虑直接套用直线斜率构建等式。难点在于利用已得到的等式，逐步消元。解析(I)A(4,0),设圆心C(X,y),线段MN的重点为E。由几何图像知ME=等，CA2=CM2=ME2+EC2=(x-4)

7、2+y2=42x2=/=8x(II)点8(T,0),设P(XI,凹),。(工2，2)，由题知y+必0，y%8(必+%)+必为(必+必)=。=8+必必=0x1+1x2+1必+8必+8直线PQ方程为：y-y=(x-x1)=y-yi=-(8x-12)一为力+弘2=My2+必)一(%+y)=8-y=Xy2+y1)+8=8x=y=0,x=1所以,直线PQ过定点(1,0)点评证明直线过定点，首先就要表示出这条直线，根据之前得到的等式，逐步削减未知元，寻求使得不等式恒成立的定值点。圆锥曲线的定值问题，考查的是运算的基本功，考验的是化简消元的耐心及目标意识。同学们平时的复习当中，应当多总结概括一些常见的限制条件的处理方式，减少考试时的思维量，提高解题效率。