[寒假]圆锥曲线三种弦长问题的探究.docx

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1、圆锥曲线三种弦长问题的探究在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究：一、一般弦长计算问题：22例1、已知椭圆C：二十与=1(匕O),直线4W=1被椭圆C截得的弦长为2,abab且e=,过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线/,被椭圆C截的弦长AB,(1)求椭圆的方程；弦AB的长度.思路分析：把直线4的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.解析：由4被椭圆C截得的弦长为22,得/+=8又e=f,即=,所以/=3/3a3联立得/=6,6=2,所以所

2、求的椭圆的方程为=62.椭圆的右焦点尸(2,0),的方程为：y=G(-2),代入椭圆C的方程，化简得，5x2-18x+6=0上186由韦达定理知，1+=,x1x2=-由弦长公式，得IAB1=y+k2i-x2=J1+(G)，46即弦AB的长度为-y-点评：本题抓住的特点简便地得出方程;，再根据e得方程，从而求得待定系数得出椭圆的方程,解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。二、中点弦长问题：例2、过点尸（4,1）作抛物线V=8x的弦AB,恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。思路分析：因为所求弦通过定点P1所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率左,有P是弦的中点，所以可

3、用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.解法1:设以P为中点的弦AB端点坐标为A（XI,乂）,8（9,必），则有#=84，y=8叫,两式相减，得（乂一%）（*+%）=8（与一9）又+x2=8,j1+y2=2则Z=&521=4,所以所求直线AB的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.X2X解法2：设AB所在的直线方程为y=R（x-4）+1由，y=A(x-4)+1y2=Sx整理得2-8y-32%+8=0.Q设人（石,）,8（马,必），由韦达定理得y+%=%，又P是AB的中点，.空上=1,.g=2=k=42k所以所求直线AB的方程为4x-y-15=0.4x-y-15=0,2整理

4、得，y-2y-30=0,则y+%=2,y%二一3。y=QX有弦长公式得，AB=51+y1-y2=71+V(+)2-43V2=-点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例3、（同例1、（2）另解：椭圆的右焦点b（2,0）,.4的方程为：j=3（x-2）,代入椭圆C的方程化简得，5x2-18x+6=0y=3(x-2)X216218由韦达定理知，x1+=y,X1X2由I2过右焦点，有焦半径公式的弦长为MM=2。-e(+%)=半.即弦AB的长度为半点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.